BDT nesbit

L

locxoaymgk

_banglangtim_114_ said:
Chứng minh BDT Nébit theo cách ngắn nhất và hay:
Cho [TEX]a,b,c [/TEX]là các số thực dương. CMR:
[TEX] \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Eo, cách hay hơi khó.
Ta có:
[TEX] VT= \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} =\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+ba}+\frac{c^2}{ca+cb}[/TEX]
[TEX] VT \geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac}\geq \frac{3(a+b+c)^2}{2(a+b+c)^2}=\frac{3}{2}[/TEX]
Dấu = xảy ra khi ...
 
Last edited by a moderator:
C

conan_edogawa93

_banglangtim_114_ said:
Chứng minh BDT Nébit theo cách ngắn nhất và hay:
Cho [TEX]a,b,c [/TEX]là các số thực dương. CMR:
[TEX] \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Cách trên chưa hay vì nó dùng Schwarz (BĐT này không phổ thông ) ;))
Đặt
[TEx]\left\{\begin{matrix}&b+c=x \\ &c+a=y \\ &a+b=z \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} & a=\frac{y+z-x}{2} \\ & b=\frac{z+x-y}{2} \\& c=\frac{x+y-z}{2}\end{matrix}\right.\\VT<=>\frac{y+z-x}{2x}+ \frac{z+x-y}{2y}+ \frac{x+y-z}{2z}\\= \frac{y}{2x}+ \frac{x}{2z}+ \frac{z}{2x}+ \frac{x}{2z}+\frac{z}{2y}+\frac{y}{2z}-\frac{3}{2}\ge^{AM-GM} 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}[/tex]
AM-GM là BĐT khá phổ thông (từ cấp II đã dùng ;)) ) :D
 
L

locxoaymgk

conan_edogawa93 said:
Cách trên chưa hay vì nó dùng Schwarz (BĐT này không phổ thông ) ;))
Đặt
[TEx]\left\{\begin{matrix}&b+c=x \\ &c+a=y \\ &a+b=z \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} & a=\frac{y+z-x}{2} \\ & b=\frac{z+x-y}{2} \\& c=\frac{x+y-z}{2}\end{matrix}\right.\\VT<=>\frac{y+z-x}{2x}+ \frac{z+x-y}{2y}+ \frac{x+y-z}{2z}\\= \frac{y}{2x}+ \frac{x}{2z}+ \frac{z}{2x}+ \frac{x}{2z}+\frac{z}{2y}+\frac{y}{2z}-\frac{3}{2}\ge^{AM-GM} 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}[/tex]
AM-GM là BĐT khá phổ thông (từ cấp II đã dùng ;)) ) :D
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Ơ hơ , Bất đẳng thức Am-GM (cô-si) thì cũng phải CM đấy chứ ( hình như chỉ cấp 3 mới dc dùng)
Vả lại BDT Bunhiacopxki(cauchy-schwarz) Đâu phải là không phổ thông ) . Nó đã có trong sách NC lớp 8 và dc sử dụng rộng rãi và gọn nhẹ đối với nhiều bài . Đôi khi BDT AM-GM lại phải CM khá dài dòng!
Theo như em thì cách hay thì không phải Bó buộc ở một mức độ nào đó như thế mà nó hay ở chỗ sử dụng gọn nhẹ và không có gì Phức tạp.
Cách AM-GM thì có vẻ phải đặt ẩn phụ và phải Biến đổi phức tạp hơn cách của em :D.
 
C

conan_edogawa93

locxoaymgk said:


Ơ hơ , Bất đẳng thức Am-GM (cô-si) thì cũng phải CM đấy chứ ( hình như chỉ cấp 3 mới dc dùng)
Vả lại BDT Bunhiacopxki(cauchy-schwarz) Đâu phải là không phổ thông ) . Nó đã có trong sách NC lớp 8 và dc sử dụng rộng rãi và gọn nhẹ đối với nhiều bài . Đôi khi BDT AM-GM lại phải CM khá dài dòng!
Theo như em thì cách hay thì không phải Bó buộc ở một mức độ nào đó như thế mà nó hay ở chỗ sử dụng gọn nhẹ và không có gì Phức tạp.
Cách AM-GM thì có vẻ phải đặt ẩn phụ và phải Biến đổi phức tạp hơn cách của em :D.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Ừ, chị định spam thêm mà ;))
Nhưng mà như em nói , thì Cấp II có mấy ai nghe đến Schwarz đâu, hơn nữa chỉ được dùng Bunhiacopxki cho 2 số thôi ;))(cấp II ấy ) . Còn AM-GM (Cauchy lại quá quen thuộc và thuộc hạng thứ 1 trong số những BĐT được coi là phổ thông và hay nhất ;)) ) Và cách chứng minh Cauchy lại cực kì đơn giản qua 1 bước bằng hằng đẳng thức >< :D (gọn nhẹ )
Bất đẳng thức được coi là hay không phải ở độ gọn và nhẹ của nó em à. (Mà hay ở tính phổ thông và cơ bản của nó :D)
 
0

01263812493

locxoaymgk said:


Eo, cách hay hơi khó.
Ta có:
[TEX] VT= \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} =\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+ba}+\frac{c^2}{ca+cb}[/TEX]
[TEX] VT \geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac}\geq \frac{3(a+b+c)^2}{2(a+b+c)^2}=\frac{3}{2}[/TEX]
Dấu = xảy ra khi ...
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]\blue VT=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+ab}+\frac{c^2}{ac+bc} \geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)} \geq \frac{3(ab+bc+ac)}{2(ab+bc+ac)}= \frac{3}{2}[/TEX]
;)
 
B

_banglangtim_114_

01263812493 said:
[TEX]\blue VT=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+ab}+\frac{c^2}{ac+bc} \geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)} \geq \frac{3(ab+bc+ac)}{2(ab+bc+ac)}= \frac{3}{2}[/TEX]
;)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Ui, cách đấy thì có khác nào cách của locxoay đâu :
Ta có:[TEX]\blue VT=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+ab}+\frac{c^2}{ac+bc} \geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)} \geq \frac{3(a+b+c)^2}{2.3(ab+bc+ac)}= \frac{3(a+b+c)^2}{2(a+b+c)^2}=\frac{3}{2}.[/TEX]
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom