BĐT nè....

[manhdn98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1Cho a,b là các số dương và có tổng bằng 1. Chứng minh:
a) (a+1/a)^2+(b+1/b)^2\geq25/2
b) (a+1/b)^2+(b+1/a)^2\geq25/2
c) (a+1/a)(b+1/b)\geq25/4
d) (a+1/b)(b+1/a)\geq25/4

 

[thaiha_98]

Đề sai thì phải bạn à :khi (2):
Tớ giải câu a cho bạn xem nhé:
$(a+\frac{1}{a})^2 + (b+\frac{1}{b})^2$
$= a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} + b^2 + 2 + \frac{1}{b^2}$ \geq $2.4 = 8$
(Vì $a^2 + \frac{1}{a^2}$ \geq $2$, $b^2 + \frac{1}{b^2}$\geq $2$)
Mà $\frac{25}{2} = 12,5$
\Rightarrow Vô lý

 

[luffy_1998]

[TEX]A^2 - 2AB + B^2 \geq 0 \Rightarrow A^2 + B^2 \geq 2AB \Rightarrow 2A^2 + 2B^2 \geq (A + B)^2 \Rightarrow A^2 + B^2 \geq \frac{(A + B)^2}{2}[/TEX]
Tạm gọi vế trái là M
Áp dụng với [TEX]A = 1 + \frac{1}{a}, B = 1+ \frac{1}{b} [/TEX]
[TEX]\Rightarrow M \geq \frac{(a + \frac{1}{a} + b + \frac{1}{b})^2}{2} = \frac{(1 + \frac{1}{ab})^2}{2}[/TEX]
Mặt khác từ [TEX]a^2 + b^2 \geq 2ab \Rightarrow (a + b)^2 \geq 4AB \Rightarrow 1 \geq 4ab \Rightarrow \frac{1}{ab} \geq 4 \Rightarrow M \geq \frac{(1 + \frac{1}{ab})^2}{2} \geq \frac{25}{2}[/TEX]
Áp dụng[TEX] A^2 + B^2 \geq 2AB[/TEX] suy ra BĐT ở câu c
câu b, d cũng tương tự

 

[thaiha_98]

Bạn xem hộ tớ xem câu a tớ giải có sai không?
:khi (100)::khi (15)::khi (154):

 

[luffy_1998]

Đề sai thì phải bạn à :khi (2):
Tớ giải câu a cho bạn xem nhé:
$(a+\frac{1}{a})^2 + (b+\frac{1}{b})^2$
$= a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} + b^2 + 2 + \frac{1}{b^2}$ \geq $2.4 = 8$
(Vì $a^2 + \frac{1}{a^2}$ \geq $2$, $b^2 + \frac{1}{b^2}$\geq $2$)
Mà $\frac{25}{2} = 12,5$
\Rightarrow Vô lý

bạn làm ko sai^^
M \geq 8 thì M \geq 12.5 cũng đâu có gì vô lí ^^
chỉ là bạn bỏ quên điều kiện a + b = 1

 

[thaiha_98]

Sao lại không vô lí nhỉ?:khi (2):
Một cái là \geq 8, cái kia là \geq 12.5 mà :khi (9):

 

[luffy_1998]

Sao lại không vô lí nhỉ?:khi (2):
Một cái là \geq 8, cái kia là \geq 12.5 mà :khi (9):

giả sử gặp một bài toán b cm dc hai điều M \geq 12.5 và M \geq 8 thì kết luận của b là gì?
chắc chắn phải kết luận là M \geq 12.5 rồi, chẳng ai kết luận vô lí cả
mọi giá trị của M đều \geq 12.5 thì hiển nhiên \geq 8

 

[thaiha_98]

giả sử gặp một bài toán b cm dc hai điều M \geq 12.5 và M \geq 8 thì kết luận của b là gì?
chắc chắn phải kết luận là M \geq 12.5 rồi, chẳng ai kết luận vô lí cả
mọi giá trị của M đều \geq 12.5 thì hiển nhiên \geq 8

Ừ, hiểu rồi :khi (63):
Nhưng khi xảy ra dấu bằng thì sẽ không đúng :khi (2):

 

[coganghoctapthatgioi]

Ta có:
[TEX](a+\frac{1}{a})(b+\frac{1}{b})[/TEX]
=[TEX]ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{1}{ab}[/TEX]
Ta có:[TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{a}[/TEX] \geq 2
[TEX]ab+\frac{1}{ab}=16ab+\frac{1}{ab}-15ab[/TEX] \geq 8-15[TEX]\frac{(a+b)^2}{4}[/TEX]
Nên [TEX](a+\frac{1}{a})(b+\frac{1}{b})[/TEX] \geq [TEX]2+8-15.\frac{1}{4}[/TEX]=25/4
Dấu ''='' xảy ra khi a=b=0,5
Câu d lam tương tự

 

[coganghoctapthatgioi]

bạn làm ko sai^^
M \geq 8 thì M \geq 12.5 cũng đâu có gì vô lí ^^
chỉ là bạn bỏ quên điều kiện a + b = 1

Tư M\geq 8 ko thể suy ra M\geq 12,5 đâu bạn
:khi (75)::khi (75)::khi (75):

 

[daovuquang]

Nói chung bạn thaiha98 giải sai. Muốn biết sai ở đâu thì bạn xem lại điều kiện xảy ra dấu bằng nhé.)

 

[luffy_1998]

Tư M\geq 8 ko thể suy ra M\geq 12,5 đâu bạn
:khi (75)::khi (75)::khi (75):

mình có bảo suy ra dc đâu. chỉ nói là 2 điều này ko mâu thuẫn với nhau thui mà.