Đề như thế này thì làm sao giải được. Hàm mũ phải có điều kiện dương chứ?
Mình sẽ giải với điều kiện a, b dương.
Trường hợp
a ≥ 1 a\geq 1 a ≥ 1 hoặc
b ≥ 1 b\geq 1 b ≥ 1 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng
Bây giờ xét trường hợp
0 < a , b < 1 0 < a,b <1 0 < a , b < 1
Đặt
m 1 = [ 1 a ] > 1 m_1=[\frac{1}{a}]>1 m 1 = [ a 1 ] > 1 (phần nguyên của 1/a);
m 2 = m 1 + 1 m_2=m_1+1 m 2 = m 1 + 1 ;
n 1 = [ 1 b ] > 1 n_1=[\frac{1}{b}]>1 n 1 = [ b 1 ] > 1 ;
n 2 = n 1 + 1 n_2=n_1+1 n 2 = n 1 + 1
Ta có
1 < m 1 ≤ 1 a < m 2 1<m_1 \leq \frac{1}{a} < m_2 1 < m 1 ≤ a 1 < m 2 <=>
1 m 2 < a ≤ 1 m 1 < 1 \frac{1}{m_2} < a \leq\frac{1}{m_1}<1 m 2 1 < a ≤ m 1 1 < 1
Tương tự
1 n 2 < b ≤ 1 n 1 < 1 \frac{1}{n_2} < b \leq \frac{1}{n_1}<1 n 2 1 < b ≤ n 1 1 < 1
Với
m 1 , m 2 , n 1 , n 2 m_1,m_2,n_1, n_2 m 1 , m 2 , n 1 , n 2 là các số nguyên dương
Theo tính chất của hàm mũ với cơ số <1 ta có
a b + b a > a 1 n 1 + b 1 m 1 > ( 1 m 2 ) 1 n 1 + ( 1 n 2 ) 1 m 1 = 1 m 2 . 1.1...1 ⏟ n 1 − 1 s o 1 n 1 + 1 n 2 . 1.1...1 ⏟ m 1 − 1 s o 1 m 1 ≥ n 1 m 2 + n 1 − 1 + m 1 n 2 + m 1 − 1 = n 1 n 1 + m 1 + m 1 n 1 + m 1 = 1 a^b+b^a > a^{\frac{1}{n_1}} + b^{\frac{1}{m_1}} > ({\frac{1}{m_2}})^{\frac{1}{n_1}} + ({\frac{1}{n_2}})^{\frac{1}{m_1}} \\ =\frac{1}{\sqrt[n_1]{\begin{matrix} \underbrace{m_2 .1.1...1}\\ n_1-1 so 1 \end{matrix}}} + \frac{1}{\sqrt[m_1]{\begin{matrix} \underbrace{n_2.1.1...1}\\ m_1-1 so 1 \end{matrix}}} \\ \geq \frac{n_1}{m_2+n_1-1} +\frac{m_1}{n_2+m_1-1}=\frac{n_1}{n_1+m_1}+ \frac{m_1}{n_1+m_1} =1 a b + b a > a n 1 1 + b m 1 1 > ( m 2 1 ) n 1 1 + ( n 2 1 ) m 1 1 = n 1 m 2 . 1 . 1 . . . 1 n 1 − 1 s o 1 1 + m 1 n 2 . 1 . 1 . . . 1 m 1 − 1 s o 1 1 ≥ m 2 + n 1 − 1 n 1 + n 2 + m 1 − 1 m 1 = n 1 + m 1 n 1 + n 1 + m 1 m 1 = 1
( Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho
n 1 n_1 n 1 số và
m 1 m_1 m 1 số)
BĐT được chứng minh. Mình nhớ bài này đã từng chứng minh cho ai đó rồi!
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn