Đề như thế này thì làm sao giải được. Hàm mũ phải có điều kiện dương chứ?
Mình sẽ giải với điều kiện a, b dương.
Trường hợp [tex] a\geq 1[/tex] hoặc [tex]b\geq 1[/tex] thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng
Bây giờ xét trường hợp [tex]0 < a,b <1[/tex]
Đặt [tex]m_1=[\frac{1}{a}]>1[/tex] (phần nguyên của 1/a); [tex]m_2=m_1+1[/tex] ; [tex]n_1=[\frac{1}{b}]>1[/tex] ; [tex]n_2=n_1+1[/tex]
Ta có [tex]1<m_1 \leq \frac{1}{a} < m_2 [/tex] <=> [tex]\frac{1}{m_2} < a \leq\frac{1}{m_1}<1[/tex]
Tương tự [tex]\frac{1}{n_2} < b \leq \frac{1}{n_1}<1[/tex]
Với [tex] m_1,m_2,n_1, n_2 [/tex] là các số nguyên dương
Theo tính chất của hàm mũ với cơ số <1 ta có
[tex]a^b+b^a > a^{\frac{1}{n_1}} + b^{\frac{1}{m_1}} > ({\frac{1}{m_2}})^{\frac{1}{n_1}} + ({\frac{1}{n_2}})^{\frac{1}{m_1}} \\ =\frac{1}{\sqrt[n_1]{\begin{matrix} \underbrace{m_2 .1.1...1}\\ n_1-1 so 1 \end{matrix}}} + \frac{1}{\sqrt[m_1]{\begin{matrix} \underbrace{n_2.1.1...1}\\ m_1-1 so 1 \end{matrix}}} \\ \geq \frac{n_1}{m_2+n_1-1} +\frac{m_1}{n_2+m_1-1}=\frac{n_1}{n_1+m_1}+ \frac{m_1}{n_1+m_1} =1[/tex]
( Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho [tex] n_1[/tex] số và[tex]m_1[/tex] số)
BĐT được chứng minh. Mình nhớ bài này đã từng chứng minh cho ai đó rồi!
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn