BDT nè giúp em nha

H

hungcan197

Last edited by a moderator:
J

jet_nguyen

$\bullet$ Đặt: $2^a = x; 2^b=y; 2^c=z \Longrightarrow x;y;z>0$
Do đó ta cần chứng minh:
$$x^3+y^3+z^3 \ge x+y+z $$ Giả thiết trở thành: $$xyz = 2^a.2^b.2^c =2^{a+b+c}=1$$
$\bullet$ Ta có: $x^3+y^3 = (x+y)(x^2+y^2-xy)$. Mà $x^2+y^2 \ge 2xy \Longrightarrow x^3+y^3 \ge xy(x+y)$
$\bullet$ Tương tự ta có: $y^3+z^3 \ge yz(y+z)$, $ z^3+ x^3≥ xz(x+z)$
$\bullet$ Cộng vế với vế ta có:
$$2(x^3+y^3+z^3) \ge x^2y+ xy^2 + y^2z+yz^2+x^2z+xz^2$$
$\bullet$ Cộng 2 vế với $x^3+y^3 +z^3$ ta được:
$$3(x^3+y^3+z^3) \ge x^2(x+y+z) + y^2(x+y+z) + z^2(x+y+z) = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2) ( * )$$
$\bullet$ Theo BDT côsi ta có: $x^2+y^2+z^2 ≥3.(x^2y^2z^2)^{\frac{1}{3}} = 3$ (vì xyz=1)
$\Longrightarrow 3(x^3+y^3+z^3) \ge 3(x+y+z)$
$\Longrightarrow x^3+y^3+z^3 \ge x+y+z$
$\Longrightarrow $ dpcm
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom