Toán 9 BĐT nâng cao

[hdiemht]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Tìm GTNN của:
[tex]P=\sqrt[3]{(\frac{1}{ab}-1)(\frac{1}{bc}-1)(\frac{1}{ac}-1)}[/tex]

 

[Ann Lee]

Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Tìm GTNN của:
[tex]P=\sqrt[3]{(\frac{1}{ab}-1)(\frac{1}{bc}-1)(\frac{1}{ac}-1)}[/tex]

Ta có [tex]1=(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)\Rightarrow -(ab+bc+ca)\geq \frac{-1}{3}[/tex]
Áp dụng BĐT AM-GM ta có: [tex]1=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{27}[/tex]
Xét $(\frac{1}{ab}-1)(\frac{1}{bc}-1)(\frac{1}{ca}-1)$
$=\frac{(1-ab)(1-bc)(1-ca)}{(abc)^{2}}$
$=\frac{1-(ab+bc+ca)+abc(a+b+c)+(abc)^{2}}{(abc)^{2}}$
$=\frac{1-(ab+bc+ca)+abc+(abc)^{2}}{(abc)^{2}}$ ( vì a+b+c=1)
$\geq \frac{1-\frac{1}{3}+abc-(abc)^{2}}{(abc)^{2}}$
$=\frac{2}{3(abc)^{2}}+\frac{1}{abc}-1$
$\geq \frac{2}{3.(\frac{1}{27})^{2}}+\frac{1}{\frac{1}{27}}-1=512$
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}[/tex]