B
bigbang195
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
*LỜI MỞ ĐẦU:
Như các bạn đã biết,bất đẳng thức Schur là một bất đẳng thức mạnh và có nhiều ứng dụng,tuy nhiên nó vẫn còn khá xa lạ với nhiều bạn học sinh THCS cũng như THPT.Qua bài viết này,tôi muốn cũng cấp thêm cho các bạn một kĩ thuật để sử dụng tốt BDT Schur,đó là kết hợp với phươnI-BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR:
Với các số thực dương a,b,c và
bất kì ta luôn có
(a-c)+b^k(b-c)(b-a)+c^k(c-a)(c-b)\geq 0)
Hai trường hợp quen thuộc được sử dụng nhiều là k=1 và k=2:
(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\geq 0 (i))
(a-c)+b^2(b-c)(b-a)+c^2(c-a)(c-b)\geq 0 (ii))
II-PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN P,Q,R:
Đối với một số bài bất đẳng thức thuần nhất đối xứng có các biến không âm thì ta có thể đổi biến lại như sau:
Đặt
Ta có một số đẳng thức sau:
.
+bc(b+c)+ca(c+a)=pq-3r)
(b+c)(c+a)=pq-r)
+bc^(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)=p^2q-2q^2-pr)
(a+c)+(b+c)(b+a)+(c+a)(c+b)=p^2+q)
Đặt
Khi đó
(b-c)(c-a)=\sqrt{L})
Có thể thấy ngay lợi ích của phương pháp này là mối ràng buộc giữa các biến p,q,r mà các biến a,b,c ban đầu không có như:
Những kết quả trên đây chắc chắn là chưa đủ,các bạn có thể phát triển thêm nhiều đẳng thức,bất đẳng thức liên hệ giữa 3 biến p,q,r.Và điều quan trọng mà tôi muốn nói đến là từ bất đẳng thức
)
và
)
,ta có:
}{9})
(từ
)
(p^2-q)}{6p})
(từ
)
Tuy nhiên trong một số trường hợp thì có thể các đại lượng
có thể nhận giá trị âm lẫn giá trị dương nên ta thường sử dụng
.
(p^2 - q)}{6p}\right })
Có lẽ đến đây các bạn đã hiểu được phần nào về bất đẳng thức Schur và phương pháp đổi biến p,q,r.Sau đây là một số ví dụ minh họa,nhưng trước hết,các bạn hãy tập làm thử rồi xem đáp án sau: g pháp đổi biến P Q R III-VÍ DỤ MINH HỌA
3.1:Bất đẳng thức Schur:
Ví dụ 1:Võ Thành Văn:
Đặt
^3}{8ab(4a+4b+c)}}+\sqrt{\frac{(b+c)^3}{8bc(4b+4c+a)}}+\sqrt{\frac{(c+a)^3}{8ca(4c+4a+b)}})
+8bc(4b+4c+a)+8ca(4c+4a+b))
+24abc)
(ab+bc+ca)-72abc)
Áp dụng BDT Holder,ta có:
^3)
Ta cần chứng minh:
^3\geq Q\Leftrightarrow8(a+b+c)^3\geq 32(a+b+c)(ab+bc+ca)-72abc)
^3\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)-9abc)
(đúng theo BDT Schur)
Vậy ta có đpcm.
Ví dụ 2:APMO 2004:
Lời giải 1:Khai triển bất đẳng thức trên,ta cần chứng minh:
+4(a^2+b^2+c^2)+8 \geq 9(ab+bc+ca))
Ta có:
+(b^2c^2+1)+(c^2a^2+1)\geq 2(ab+bc+ca))
-(a+b+c)^2)
(theo BDT Schur)
Áp dụng các BDT trên,ta có:
+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+3)+4(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ca)+4(ab+bc+ca)+3(a^2+b^2+c^2)\geq 9(ab+bc+ca) (dpcm))
Lời giải 2:
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM,ta có:
(b^2+2)(c^2+2)-9(ab+bc+ca))
+2((a^2b^2+1)+(b^2c^2+1)+(c^2a^2+1))+(a^2b^2c^2+1)+1-9(ab+bc+ca))
+4(ab+bc+ca)+2abc+1-9(ab+bc+ca))
)
Bất đẳng thức cuối đã rất quen thuộc,ta có đpcm.
Như các bạn đã biết,bất đẳng thức Schur là một bất đẳng thức mạnh và có nhiều ứng dụng,tuy nhiên nó vẫn còn khá xa lạ với nhiều bạn học sinh THCS cũng như THPT.Qua bài viết này,tôi muốn cũng cấp thêm cho các bạn một kĩ thuật để sử dụng tốt BDT Schur,đó là kết hợp với phươnI-BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR:
Với các số thực dương a,b,c và
Hai trường hợp quen thuộc được sử dụng nhiều là k=1 và k=2:
II-PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN P,Q,R:
Đối với một số bài bất đẳng thức thuần nhất đối xứng có các biến không âm thì ta có thể đổi biến lại như sau:
Đặt
Ta có một số đẳng thức sau:
.
Đặt
Khi đó
Có thể thấy ngay lợi ích của phương pháp này là mối ràng buộc giữa các biến p,q,r mà các biến a,b,c ban đầu không có như:
Những kết quả trên đây chắc chắn là chưa đủ,các bạn có thể phát triển thêm nhiều đẳng thức,bất đẳng thức liên hệ giữa 3 biến p,q,r.Và điều quan trọng mà tôi muốn nói đến là từ bất đẳng thức
Tuy nhiên trong một số trường hợp thì có thể các đại lượng
.
Có lẽ đến đây các bạn đã hiểu được phần nào về bất đẳng thức Schur và phương pháp đổi biến p,q,r.Sau đây là một số ví dụ minh họa,nhưng trước hết,các bạn hãy tập làm thử rồi xem đáp án sau: g pháp đổi biến P Q R III-VÍ DỤ MINH HỌA
3.1:Bất đẳng thức Schur:
Ví dụ 1:Võ Thành Văn:
Cho a,b,c là các số thực không âm.Chứng minh rằng:
^3}{8ab(4a+4b+c)}}+\sqrt{\frac{(b+c)^3}{8bc(4b+4c+a)}}+\sqrt{\frac{(c+a)^3}{8ca(4c+4a+b)}}\geq 1)
Lời giải:
Đặt
Áp dụng BDT Holder,ta có:
Ta cần chứng minh:
Vậy ta có đpcm.
Ví dụ 2:APMO 2004:
Cho 3 số thực dương
.Chứng minh rằng:
(b^2+2)(c^2+2)\geq 9(ab+bc+ca))
Lời giải
Lời giải 1:Khai triển bất đẳng thức trên,ta cần chứng minh:
Ta có:
Áp dụng các BDT trên,ta có:
Lời giải 2:
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM,ta có:
Bất đẳng thức cuối đã rất quen thuộc,ta có đpcm.