BDT Lượng giác

[01263812493]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh:
[TEX]a) \blue \huge \sum \frac{cos{\frac{A-B}{2}}}{sin {\frac{C}{2}}} \geq 6[/TEX]

[TEX]b) \blue \huge \prod sin(\frac{\pi-A}{4}) \geq \prod sin{\frac{A}{2}}[/TEX]

[TEX]c)\huge \blue \sum \frac{1}{cosA} \geq \sum \frac{1}{sin {\frac{A}{2}}}[/TEX]

 

[anh_van_con_ngay_tho]

1. Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh:
[TEX]a) \blue \huge \sum \frac{cos{\frac{A-B}{2}}}{sin {\frac{C}{2}}} \geq 6[/TEX]

[TEX]b) \blue \huge \prod sin(\frac{\pi-A}{4}) \geq \prod sin{\frac{A}{2}}[/TEX]

[TEX]c)\huge \blue \sum \frac{1}{cosA} \geq \sum \frac{1}{sin {\frac{A}{2}}}[/TEX]

1
[TEX]VT = \sum {\frac{{\sin \frac{{A + B}}{2}c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2}}}{{c{\rm{os}}\frac{C}{2}\sin \frac{C}{2}}}} = \sum {\frac{{\sin A + \sin B}}{{\sin C}}} \ge 2\sum {\frac{{\sqrt {\sin A\sin B} }}{{\sin C}}} \ge 6[/TEX]
2
[TEX]\begin{array}{l}VT - VP = \prod {\sin \frac{{B + C}}{4}} - \prod {\sin \frac{A}{2}} \\\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} \le \frac{1}{4}{\left( {\sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2}} \right)^2} = {\sin ^2}\frac{{A + B}}{4}c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{{A - B}}{4} \le {\sin ^2}\frac{{A + B}}{4}\\ = > \sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} \le {\sin ^2}\frac{{B + C}}{4};\sin \frac{A}{2}\sin \frac{C}{2} \le {\sin ^2}\frac{{A + C}}{4}\\ = > VT - VP \ge 0\end{array}[/TEX]
3
[TEX]\begin{array}{l}\frac{1}{{\cos A}} + \frac{1}{{\cos B}} \ge \frac{4}{{\cos A + \cos B}} = \frac{2}{{\sin \frac{C}{2}c{\rm{os}}\frac{{A - B}}{2}}} \ge \frac{2}{{\sin \frac{C}{2}}}\\ = > \frac{1}{{\cos B}} + \frac{1}{{\cos C}} \ge \frac{2}{{\sin \frac{A}{2}}};\frac{1}{{\cos A}} + \frac{1}{{\cos C}} \ge \frac{2}{{\sin \frac{B}{2}}}\\ = > VT - VP \ge 0\end{array}[/TEX]

 

[niemkieuloveahbu]

[TEX]c)\huge \blue \sum \frac{1}{cosA} \geq \sum \frac{1}{sin {\frac{A}{2}}}[/TEX][/I][/SIZE][/FONT]

Tam giác nhọn nên [TEX]cosA,cosB,cosC,sin{\frac{A}{2}},sin{\frac{B}{2}}sin{\frac{C}{2}}>0[/TEX],Áp dụng AM-GM
[TEX]\frac{1}{cosA}+\frac{1}{cosB}\geq {\frac{2}{{\sqrt{cosA.cosB}}[/TEX][TEX]=2.{\sqrt{\frac{2}{cos(A-B)+cos(A+B)}}\geq2.\sqrt{\frac{2}{1-cosC}}=\frac{2}{sin{\frac{C}{2}}}[/TEX]
\Rightarrow [TEX]2VT\geq2VP[/TEX]\Rightarrow đpcm

 

[tuyn]

1. Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh:
[TEX]a) \blue \huge \sum \frac{cos{\frac{A-B}{2}}}{sin {\frac{C}{2}}} \geq 6[/TEX]

Ta có:
[TEX] \frac{cos{ \frac{A-B}{2}}}{sin{ \frac{C}{2}}}= \frac{sinA+sinB}{sinC}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow VT= \frac{sinA}{sinC}+ \frac{sinB}{sinC}+ \frac{sinB}{sinA}+ \frac{sinA}{sinB}+ \frac{sinC}{sinB} \geq 6 (Cauchy)[/TEX]

[TEX]b) \blue \huge \prod sin(\frac{\pi-A}{4}) \geq \prod sin{\frac{A}{2}}[/TEX]

[TEX]sin{ \frac{A}{2}} sin{ \frac{B}{2}} \leq ( \frac{sin{ \frac{A}{2}}+ sin{ \frac{B}{2}}}{2})^2= sin^2{ \frac{A+B}{2}}.cos^2{ \frac{A-B}{2}} \leq sin^2({ \frac{ \pi-C}{4}})[/TEX]
Tương tự với các BDT còn lại.Sau đó nhân vế với vế là OK

[TEX]c)\huge \blue \sum \frac{1}{cosA} \geq \sum \frac{1}{sin {\frac{A}{2}}}[/TEX]

[TEX] \frac{1}{cosA}+ \frac{1}{cosB} \geq \frac{4}{cosA+cosB}= \frac{2}{cos{ \frac{A+B}{2}}.cos{ \frac{A-B}{2}}} \geq \frac{2}{sin{ \frac{C}{2}}}[/TEX]