Toán 8 BĐT lớp 8

[SidaBoyVN]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z là 3 số dương tm xyz=1.cmr
[tex]\frac{x^{2}}{(1+y)}+\frac{y^{2}}{(1+z)}+\frac{z^{2}}{(1+x)}\geq \frac{3}{2}[/tex]

 

[hdiemht]

Cho x,y,z là 3 số dương tm xyz=1.cmr x^2/(1+y) +y^2/(1+z)+Z^2/(1+x)>=3/2

Lần sau bạn nên gõ Latex nhé!!!
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số ko âm:
[tex]\frac{x^2}{1+y}+\frac{y^2}{1+z}+\frac{z^2}{1+x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^2y^2z^2}{(1+x)(1+y)(1+z)}} \doteq \frac{3}{\sqrt[3]{(1+x)(1+y)(1+z)}}[/tex]
Ta có: [tex]x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3[/tex]
Lại có: [tex](x+1)+(y+1)+(z+1)\geq 3\sqrt[3]{(x+1)(y+1)(z+1)}\Leftrightarrow 6\geq 3\sqrt[3]{(x+1)(y+1)(z+1)}\Rightarrow \sqrt[3]{(x+1)(y+1)(z+1)}\leq 2[/tex]
Khi đó:
[tex]\frac{x^2}{1+y}+\frac{y^2}{1+z}+\frac{z^2}{1+x}\geq\frac{3}{2}[/tex]
Dấu ''='' xảy ra khi x=y=z=1

 

[Pé Phương]

áp dụng cosi cho 3 số x^2/(1+y), y^2/(1+z), z^2/(1+x) ta có
x^2/(1+y) + y^2/(1+z) + z^2/(1+x) >= 3 (căn bâc 3 của(x^2.y^2.z^2)/((1+x)(y+1)(z+1)))
= 3 (căn bâc 3 của(1/(1+x)(y+1)(z+1))
có xyz=1 nên
x<=1<=>x+1<=2<=>1/(X+1)>=1/2 tương tự
1/(y+1)>=1/2
1/(z+1)>=1/2
nên 3 (căn bâc 3 của(1/(1+x)(y+1)(z+1))>=3(căn bâc 3 của(1/((1/2)^3)=3/2 => dpcm dấu= xay ra khi x=y=z=1

 

[Pé Phương]

gọi BĐt cần chứng minh là (1)
ta có x^2/( 1+y) + (1+y)/4 >= 2.căn(x^2/4) = x
tương tự: y^2/ ( 1+z) + (1+z)/4 >= y
và z^2 /( 1+x) + (1+x)/4 >= z
BđT (1) <> x^2/ (1+y) + y^2/(1+z) + z^2/( 1+x) + (1+y)/4 + (1+z) /4 + (1+x)/4 >= 3/2 + (1+y)/4 + (1+ z)/4 + (1+x)/4
<> x^2/(1+y) + y^2/(1+z) + z^2/( 1+x) + (1+y)/4 + (1+z) /4 + (1+x)/4 >= 9/4 + 1/4( x+ y +z) ( bước này chỉ là rút gọn vế phải của BĐT thoi nhe bạn)
thay vì chứng minh bd9t này là đúng ta chứng minh x+y+z >= 9/4 + 1/4( x+y+z)
chuyển vế: 3/4(x+ y +z) >= 9/4 <> x+ y+ z >= 3 ( đúng )
vì x+ y + z >= 3. căn bậc ba ( xyz) ( cô si )
vậy Bđt (1) của ta đã được chứng minh

 

[SidaBoyVN]

áp dụng cosi cho 3 số x^2/(1+y), y^2/(1+z), z^2/(1+x) ta có
x^2/(1+y) + y^2/(1+z) + z^2/(1+x) >= 3 (căn bâc 3 của(x^2.y^2.z^2)/((1+x)(y+1)(z+1)))
= 3 (căn bâc 3 của(1/(1+x)(y+1)(z+1))
có xyz=1 nên
x<=1<=>x+1<=2<=>1/(X+1)>=1/2 tương tự
1/(y+1)>=1/2
1/(z+1)>=1/2
nên 3 (căn bâc 3 của(1/(1+x)(y+1)(z+1))>=3(căn bâc 3 của(1/((1/2)^3)=3/2 => dpcm dấu= xay ra khi x=y=z=1

Nếu x=1/5,y=5,z=1 thi bạn sai r nhé

 

[lengoctutb]

Lần sau bạn nên gõ Latex nhé!!!
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số ko âm:
[tex]\frac{x^2}{1+y}+\frac{y^2}{1+z}+\frac{z^2}{1+x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^2y^2z^2}{(1+x)(1+y)(1+z)}} \doteq \frac{3}{\sqrt[3]{(1+x)(1+y)(1+z)}}[/tex]
Ta có: [tex]x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3[/tex]
Lại có: [tex](x+1)+(y+1)+(z+1)\geq 3\sqrt[3]{(x+1)(y+1)(z+1)}\Leftrightarrow 6\geq 3\sqrt[3]{(x+1)(y+1)(z+1)}\Rightarrow \sqrt[3]{(x+1)(y+1)(z+1)}\leq 2[/tex]
Khi đó:
[tex]\frac{x^2}{1+y}+\frac{y^2}{1+z}+\frac{z^2}{1+x}\geq\frac{3}{2}[/tex]
Dấu ''='' xảy ra khi x=y=z=1

Bạn làm ngược dấu rồi $x+y+x \geq 3$

 

[Pé Phương]

Nếu x=1/5,y=5,z=1 thi bạn sai r nhé

uk

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Làm bất đẳng thức như mấy ông thì bài nào mà chả ra :v
Lưu ý làm bđt phải để ý tới dấu hộ nha. Với lại cái gì mà "làm tương tự cũng phải để ý"
$xyz=1$ thì chắc gì $x,y,z \leq 1$ nhỉ? :v
Bài này thì áp dụng cauchy-schawz dạng engel thôi.
$
\sum \dfrac{x^2}{1+y}
\geq \dfrac{(x+y+z)^2}{3+x+y+z}$
Cần chứng minh:
$\dfrac{(x+y+z)^2}{3+x+y+z} \geq \dfrac{3}{2} \\\Rightarrow 2(x+y+z)^2 \geq 9+3(x+y+z)$
Giải bất phương trình được $x+y+z \geq 3$ thì thỏa mãn.
Điều này luôn đúng theo Cauchy 3 số $x+y+z \geq 3\sqrt[3]{xyz}=3$

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Lâu không gõ công thức sửa đi sửa lại mấy lần =))