Toán BĐT -lớp 8

[Khuất Hải Đăng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: [tex]\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1[/tex]
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q= [tex]\frac{x}{\sqrt{yz(1+x^{2})}}+\frac{y}{\sqrt{zx(1-y^{2})}}+\frac{z}{\sqrt{xy(1+z^{2})}}[/tex]

 

[Ann Lee]

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: [tex]\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1[/tex]
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q= [tex]\frac{x}{\sqrt{yz(1+x^{2})}}+\frac{y}{\sqrt{zx(1-y^{2})}}+\frac{z}{\sqrt{xy(1+z^{2})}}[/tex]

Đổi biến thì sao nhỉ :3
Đặt [tex]\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c[/tex]
Khi đó: giả thiết [tex]\Leftrightarrow ab+bc+ca=1[/tex]
và $Q=\sqrt{\frac{bc}{1+a^{2}}}+\sqrt{\frac{ca}{1+b^{2}}}+\sqrt{\frac{ab}{1+c^{2}}}$
$=\sqrt{\frac{bc}{ab+bc+ca+a^{2}}}+\sqrt{\frac{ca}{ab+bc+ca+b^{2}}}+\sqrt{\frac{ab}{ab+bc+ca+c^{2}}}$
$=\sqrt{\frac{bc}{(a+b)(a+c)}}+\sqrt{\frac{ca}{(b+a)(b+c)}}+\sqrt{\frac{ab}{(c+a)(c+b)}}$
$\leq \frac{1}{2}(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c})+\frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c})+\frac{1}{2}(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{c+b})=\frac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra...