[BĐT] "Look at the end point !"

[phamminhkhoi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Các bạn giải một số bài trước :

1, Cho x,y,z thuộc [0, 2]

Chứng minh 2 (x+y)(xy + yz + xz) \leq 4

2, a,b,c >= 0

Cm: [TEX]\frac{a + b + c}{3} - \sqrt[3]{abc} \leq max ((\sqrt{a} - \sqrt{b})^2, (\sqrt{b} - \sqrt{c})^2, (\sqrt{c} - \sqrt{a})^2) [/TEX]

 

[quyenuy0241]

bài 1có đúng không bạn
Mình nghĩ là sai :
x=y=z=2
thử nhé:

 

[rua_it]

[tex]\sum a^3+3abc \geq \sum a^2b[/tex]

[tex]\rightarrow \sum a^2 +3.\sqrt[3]{a^2b^2c^2} \geq 2.\sum ab[/tex]

[tex]\rightarrow \sum a +3.\sqrt[3]{abc} \geq 2.\sum \sqrt{ab}[/tex]

[tex]\Rightarrow LHS \leq max(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2,(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2,(\sqrt{c}-\sqrt{a})^2)(dpcm)[/tex]

 

[rua_it]

Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng [tex]0 \leq a \leq b \leq c[/tex]

\Rightarrow Ta chỉ cần chứng minh
[tex]LHS \leq (\sqrt{a}-\sqrt{c})^2[/tex]

[tex]Xet:f(x)=\frac{a+x+c}{3}-\sqrt[3]{axc} [/tex]

[tex]\rightarrow max({f(a),f(c)}) \geq f(x)[/tex]

Tiếp tục giả sử [tex] f(a) \geq f(c)[/tex]

[tex]\rightarrow[/tex] ta chỉ còn phải CM [tex]f(a) \leq (\sqrt{a}-\sqrt{c})^2(*)[/tex]là đủ

[tex]Note: AM-GM \rightarrow a+2c+3.\sqrt[3]{a^2c} \geq 6\sqrt{ac}(**)[/tex]

[tex](*) &(**) \rightarrow dpcm[/tex]

Bài toán tổng quát:

[tex]\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} - \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} x_i } \leq \max_{0<i \leq j \leq n} ({\sqrt{a_i}-\sqrt{a_j}})^2[/tex]

 

[rua_it]

1, Cho x,y,z thuộc [0, 2]
Đề phải thế này anh ạ.
Chứng minh 2 (x+y+z)-(xy + yz + xz) \leq 4

[tex]LHS =2.(\sum x)-(\sum xy) \leq 4[/tex]

[tex]\Rightarrow [2-(z+y)].x+2(y+z)-yz-4 \leq 0[/tex]

[tex]Xet: f(x)=[2-(z+y)].x+2(y+z)-yz-4[/tex], với x trên khoảng [/tex] [0;2][/tex]

Xét 2 giá trị biên x=2 và x=0, ta có:

[tex]\left{\begin{f(0)=-(2-y).(2-z) \leq 0}\\{f(2)=-yz \leq 0[/tex]

Vậy ta được dpcm.

 

[rua_it]

2, a,b,c >= 0

Cm: [TEX]\frac{a + b + c}{3} - \sqrt[3]{abc} \leq max ((\sqrt{a} - \sqrt{b})^2, (\sqrt{b} - \sqrt{c})^2, (\sqrt{c} - \sqrt{a})^2) [/TEX]

[tex]Schur \rightarrow 3.\sqrt[3]{a^2b^2c^2} \geq \sum_{sym} (ab-\frac{a^2}{2})[/tex]

[tex]Dat: \left{\begin{a=x^2}\\{b=y^2}\\{c=z^2}[/tex]

[tex]\rightarrow LHS \leq \frac{2.\sum a-\sum \sqrt{ab}}{3} \leq RHS[/tex]

Ngắn.

 

[phamtiengiang5294]

Look at the end point là cái gì thế nhỉ
sao mình học lớp 10 rồi mà ko biết nhỉ