BDT khó !!!

[math012]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/cho x>y và xy=1 c/m
$\frac{(x^2+y^2)^2}{(x-y)^2}$\geq 8
2/xy\geq1 .c/m $\frac{1}{1+x^2}$+$\frac{1}{1+y^2}$\geq $\frac{2}{1+xy}$
làm nhanh nha các bn ai lm` đúng mk` thanhs nhìu!!!

 

[ronaldover7]

1/ x>y và xy=1
$\frac{(x^2+y^2)^2}{(x-y)^2}$
= $\frac{x^4+y^4+2(xy)^2}{(x-y)^2}$
=$\frac{x^4+y^4+2}{(x-y)^2}$
=$\frac{x^4+y^4-2+4}{(x-y)^2}$
=$\frac{x^4+y^4-2(xy)^2+4}{(x-y)^2}$
=$\frac{(x^2-y^2)^2}{(x-y)^2}$+$\frac{(4}{(x-y)^2}$
=$\frac{(x-y)^2(x+y)^2}{(x-y)^2}$+$\frac{(4}{(x-y)^2}$
=$(x+y)^2$+$\frac{(4}{(x-y)^2}$
=$x^2$+$y^2$+2xy+$\frac{4}{(x-y)^2}$
=$x^2$+$y^2$+2+$\frac{4}{(x-y)^2}$
=$x^2$+$y^2$-2xy+4+$\frac{4}{(x-y)^2}$
=$(x-y)^2$+$\frac{4}{(x-y)^2}$+4
BDT cauchy,Ta co
$(x-y)^2$+$\frac{4}{(x-y)^2}$ \geq 4
\Rightarrow $(x-y)^2$+$\frac{4}{(x-y)^2}$ +4 \geq 8
\Rightarrow $\frac{(x^2+y^2)^2}{(x-y)^2}$ \geq 8
​

 

[microwavest]

2.Chuyển về 1 vế, quy đồng lên ta được:

$\dfrac{(x-y)^2(xy-1)}{(1+xy)(1+x^2)(1+y^2)}$ \Rightarrow đpcm

 

[congchuaanhsang]

1/ x>y và xy=1
$\frac{(x^2+y^2)^2}{(x-y)^2}$
= $\frac{x^4+y^4+2(xy)^2}{(x-y)^2}$
=$\frac{x^4+y^4+2}{(x-y)^2}$
=$\frac{x^4+y^4-2+4}{(x-y)^2}$
=$\frac{x^4+y^4-2(xy)^2+4}{(x-y)^2}$
=$\frac{(x^2-y^2)^2}{(x-y)^2}$+$\frac{(4}{(x-y)^2}$
=$\frac{(x-y)^2(x+y)^2}{(x-y)^2}$+$\frac{(4}{(x-y)^2}$
=$(x+y)^2$+$\frac{(4}{(x-y)^2}$
=$x^2$+$y^2$+2xy+$\frac{4}{(x-y)^2}$
=$x^2$+$y^2$+2+$\frac{4}{(x-y)^2}$
=$x^2$+$y^2$-2xy+4+$\frac{4}{(x-y)^2}$
=$(x-y)^2$+$\frac{4}{(x-y)^2}$+4
BDT cauchy,Ta co
$(x-y)^2$+$\frac{4}{(x-y)^2}$ \geq 4
\Rightarrow $(x-y)^2$+$\frac{4}{(x-y)^2}$ +4 \geq 8
\Rightarrow $\frac{(x^2+y^2)^2}{(x-y)^2}$ \geq 8
​

Bạn làm dài thế

Xét $\dfrac{x^2+y^2}{x-y}=\dfrac{(x-y)^2+2}{x-y}$ (do xy=1)

=$x-y+\dfrac{2}{x-y}$\geq$2\sqrt{2}$ (Cauchy do x>y)

Vì 2 vế dương nên bp 2 vế được đpcm