BĐT khó - Toán 9

[matthamthcs]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1: Cho $x,y\in \mathbb{R}\;\;(xy\ne 0)$. Chứng minh rằng

$\dfrac{4x^2y^2}{x^4+y^4}+\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2} \ge 3$

Câu 2: Cho $x^2+y^2=1$
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P= \sqrt[]{1 + 2x} + \sqrt[]{1 + 2y}$

Câu 3: Chứng minh rằng:

$\dfrac{2x}{x^6+y^4}+\dfrac{2y}{y^6+z^4}+\dfrac{2z}{z^6+x^4} \le \dfrac{1}{x^4}+\dfrac{1}{y^4}+\dfrac{1}{z^4}$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 3:

Áp dụng BDT Cauchy:

$VT \le \dfrac{1}{x^2y^2}+\dfrac{1}{y^2z^2}+\dfrac{1}{z^2x^2}$

Đặt $(a;b;c)=\left (\dfrac{1}{x^2};\dfrac{1}{y^2};\dfrac{1}{z^2} \right)$

Cần chứng minh $\dfrac{1}{x^2y^2}+\dfrac{1}{y^2z^2}+\dfrac{1}{z^2x^2} \le \dfrac{1}{x^4}+\dfrac{1}{y^4}+\dfrac{1}{z^4}$

$\leftrightarrow a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca \leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \ge 0$ luôn đúng.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\pm 1$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2:

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz: $\sqrt{1+2x}+\sqrt{1+2y} \le 2\sqrt{x+y+1}$

Cũng áp dụng BDT Cauchy-Schwarz: $x+y \le \sqrt{2(x^2+y^2)}=\sqrt{2}$

$\to \sqrt{1+2x}+\sqrt{1+2y} \le 2\sqrt{\sqrt{2}+1}$

GTNN tìm hơi khó.

Bài 1: Đề chắc là $\ge 4$

$\leftrightarrow \dfrac{-2(x^2-y^2)^2}{x^4+y^4}+\dfrac{(x^2-y^2)^2}{x^2y^2}=(x^2-y^2)^2\left(\dfrac{1}{x^2y^2}-\dfrac{2}{x^4+y^4} \right) \ge 0$

BDT trên luôn đúng vì $(x^2-y^2)^2 \ge 0$ và $x^4+y^4 \ge 2x^2y^2$

Đẳng thức xảy ra khi $|x|=|y|$

 

[matthamthcs]

anh ơi khó hiểu quá!
Bài 2 ý áp dụng bđt Cauchy - Schwarz dạng nào
còn bài 1 đáp án đề cho là \geq 3 dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y= 1