Cho a,b,c >0 thỏa mãn: a+b+c =3. Tim Min của
P= [TEX]a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}[/TEX]
ta có : [TEX]3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=\sum_{cyc}a^2b+\sum_{cyc}b^2a+\sum_{cyc}a^3[/TEX]
theo AM-GM ta có :
[TEX]a^3+b^2a \ge 2\sqrt{a^3b^2a}=2a^2b[/TEX]
Do đó :
[TEX]3\sum_{cyc}a^2 \ge 3\sum_{cyc}a^2b[/TEX]
hay [TEX]\sum_{cyc}a^2 \ge \sum_{cyc}a^2b[/TEX]
Áp dụng BDT này vào BDT ban đầu ta có :
[TEX]a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a} \ge \sum_{cyc}a^2+\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]
đặt [TEX]\sum_{cyc}a^2=x[/TEX] thì [TEX](a+b+c)^2-x=9-x=2(ab+bc+ac)[/TEX]
vậy ta cần tìm min của :
[TEX]x+\frac{9-x}{2x}=\frac{2x^2-x+9}{2x} [/TEX]
mặt khác :
[TEX]\frac{2x^2-x+9}{2x}-4=\frac{2x^2-9x+9}{2x}=\frac{(x-3)(2x-3)}{2x} [/TEX]
do [TEX]3x=3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2=9[/TEX]
do đó x \ge 3
vậy biểu thức trên không âm điều đó có nghĩa min của biểu thức là 4
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi [TEX]a=b=c=1[/TEX]
chú thích : [TEX]\sum_{cyc}f(a)=f(a)+f(b)+f(c) [/TEX]
:-s
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
