BDT hoán vị khó hay dễ.LET'S GO

[quanghao98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

các bạn thử làm BDT này nhé!l
cho x,y,z là các số thực dương tuỳ ý,chứng minh rằng:
$\sqrt{\frac{x}{x+y}}$+$\sqrt{\frac{y}{y+z}}$+ $\sqrt{\frac{z}{x+z}}$ \leq $\frac{3}{\sqrt{2}}$

 

[braga]

$$A = \sqrt {\frac{x}{{x + y}}} + \sqrt {\frac{y}{{y + z}}} + \sqrt {\frac{z}{{x + z}}} \le \frac{3}{{\sqrt 2 }}$$
Ta có:
$${A^2} = {\left( {\sqrt {\frac{x}{{x + y}}} + \sqrt {\frac{y}{{y + z}}} + \sqrt {\frac{z}{{x + z}}} } \right)^2}$$
$$ \le \left( {x + y + y + z + z + x} \right)\left[ {\frac{x}{{(x + y)(x + z)}} + \frac{y}{{(z + y)(x + y)}} + \frac{z}{{(z + y)(x + z)}}} \right].$$
$$\Leftrightarrow {A^2} \le 4(x + y + z)\frac{{xy + yz + zx}}{{(x + y)(x + z)(y + z)}} \le \frac{9}{2}.$$
Ta cần chứng minh :
$$ 8(x + y + z)(xy + xz + yz) \le 9(x + y)(x + z)(y + z)$$
Ta có :
$$(x + y + z)(xy + xz + yz) - xyz = (x + y)(x + z)(y + z)$$
$$\Rightarrow 8(x + y + z)(xy + xz + yz) = 8xyz + 8(x + y)(x + z)(y + z) \le 9(x + y)(x + z)(y + z)$$
$$\Leftrightarrow (x + y)(x + z)(y + z) \ge 8xyz.$$(luôn đúng theo CauChy $ \Rightarrow đpcm$)