BĐT hình học

[hotien217]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác.C/m:
$$\dfrac{a}{2b+2c-a}+\dfrac{b}{2c+2a-b}+\dfrac{c}{2a+2b-c}\ge1$$

 

[huynhbachkhoa23]

Vì $a,b,c$ là ba cạnh của tam giác nên mẫu số các phân thức đều dương.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (Engel) :
$$LHS \text{(Left Hand Side)} = \sum \dfrac{a^2}{2ab+2ac-a^2} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{4(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)}$$
Ta cần chứng minh:
$$\dfrac{(a+b+c)^2}{4(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)} \ge 1\\
\leftrightarrow (a+b+c)^2\ge -(a^2+b^2+c^2) +4(ab+bc+ca)\\
\leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca) \ge 0\\
\leftrightarrow (b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2 \ge 0 \text{(True)}$$
Hoàn tất chứng minh. Equa xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

 

[transformers123]

$\sum \dfrac{a}{2b+2c-a}=\sum \dfrac{a^2}{2ab+2bc-a^2} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{4(ab+bc+ca)-a^2-b^2-c^2} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}= \dfrac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1$

Dấu "=" xảy ra khi $\Delta$ đều

 

[hoa02hoa]

Có tỉ lệ không vậy bạn! Nếu không có thì sao mà làm?

 

[huynhbachkhoa23]

$\sum \dfrac{a}{2b+2c-a}=\sum \dfrac{a^2}{2ab+2bc-a^2}$

$\iff \sum \dfrac{a}{2b+2c-a} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{4(ab+bc+ca)-a^2-b^2-c^2}$

$\iff \sum \dfrac{a}{2b+2c-a} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}$

$\iff \sum \dfrac{a}{2b+2c-a} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}$

$\iff \sum \dfrac{a}{2b+2c-a} \ge 1$

Dấu "=" xảy ra khi $\Delta$ đều

Sao mà tương đương ngon lành thế , phải là suy ra.