BĐT HH 9 (hay)

[ttt2_thtt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC đều. Điểm M nằm bất kì trong tam giác

Chứng minh MA+MB+MC $\ge$ 2AH


@congchua: Điểm H ở đâu?

@angle: AH là đường cao.

 

[lamnguyen.rs]

Vẽ BH vuông góc AM, CK vuông góc AM. Dễ chứng minh CH + BK <= BC.
Ta có:
$S_{ACM} + S_{ABM} = \dfrac{AM(CH + BK)}{2} <= \dfrac{AM.BC}{2}$
Tương tự:
$S_{ACM} + S_{BCM} = \dfrac{MC.AB}{2} <= \dfrac{MC.BC}{2}$
$S_{AMB} + S_{CMB} = \dfrac{MB.AC}{2} <= \dfrac{MB.BC}{2}$
Cộng 3 đẳng thức trên, ta có:
$2(S_{ACM} + S_{BCM} + S_{AMB}) <= \dfrac{BC(MA + MB + MC)}{2}$
$<=> 2S_{ABC} <= \dfrac{BC(MA + MB + MC)}{2}$
$<=> 2\dfrac{AH.BC}{2} <= \dfrac{BC(MA + MB + MC)}{2}$
$<=> 2AH <= MA + MB + MC (dpcm)$