BĐT hay

[yenzjnk]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \ge ab+bc+ca$ với a,b,c dương và $a+b+c \le 3$

Chú ý gõ latex. P/s: Đã sửa.

 

[vansang02121998]

Với $\forall \ a \ge 0$, ta luôn có

$(\sqrt{a}-1)^2\sqrt{a}(\sqrt{a}+2) \ge 0$

$\Leftrightarrow a^2-3a+2\sqrt{a} \ge 0$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{a} \ge 3a-a^2$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{a} \ge a(3-a)$

$\Rightarrow 2\sqrt{a} \ge a(b+c)$

Chứng minh tương tự, cộng vế với vế, ta có

$2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+2\sqrt{c} \ge a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+2\sqrt{c} \ge 2(ab+ac+bc)$

$\Leftrightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \ge ab+ac+bc$

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=1$ hoặc $a=b=c=0$

 

[bosjeunhan]

Chứng minh rằng Căn a +căn b +căn c >= ab+ac+ bc với a,b,c dương và a+b+c =<3

HD:
Áp dụng bất đẳng thức AM_GM cho ba số không âm:
$\sqrt{a} + \sqrt{a} + a^2 \ge 3a$
...