BĐT hay!

[manhdn98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:
a) (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)\leqabc
b) (3a-b-b)(3b-a-c)(3c-a-b)\leqabc
Gợi ý câu b) nè. Chứng minh VT của câu b\leqvế trái của câu a>-

 

[luffy_1998]

a. [TEX](a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) \leq abc. \ \(1)[/TEX]
C1: [TEX](a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) \leq abc[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow [(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)]^2 \leq (abc)^2 (2)[/TEX]
[TEX](a+b-c)(b+c-a) = b^2 - (a-c)^2 \leq b^2[/TEX]
[TEX](b+c-a)(a+c-b) = c^2 - (a-b)^2 \leq c^2[/TEX]
[TEX](a+b-c)(a+c-b) = a^2 - (b-c)^2 \leq a^2[/TEX]
Các BDT có 2 vế đều dương và cùng chiều
[TEX]\Rightarrow [(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)]^2 \leq (abc)^2[/TEX]
BDT (2) đúng \Rightarrow BDT (1) đúng
C2:
Đặt [TEX]x = a+b-c, y = b+c-a, z = a+c-b[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a = \frac{x+z}{2}; b = \frac{x+y}{2}; c = \frac{y+z}{2}[/TEX]
[TEX](a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) \leq abc[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 8xyz \leq (x+z)(x+y)(y+z) (3)[/TEX]
[TEX]x+z \geq 2sqrt{xz}; x+y \geq 2sqrt{xy}; y+z \geq 2sqrt{yz}[/TEX]
Nhân từng vế 3 BDT cùng chiều, 2 vế đều dương trên ta dc BDT (3) đúng.
Vậy BDT (1) đúng

 

[luffy_1998]

b) Đề sai. Sửa:
[TEX](3a-b-c)(3b-a-c)(3c-a-b) \leq abc[/TEX]
Cần CM: [TEX](3a-b-c)(3b-a-c)(3c-a-b) \geq (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) (4)[/TEX]
Đặt [TEX]x = 3a-b-c; y = 3b-a-c; z = 3c-a-b[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a+b-c = {x+y}{2}; b+c-a = {y+z}{2}; a+c-b = {x+z}{2}[/TEX]
BDT (4) trở thành: [TEX](x+y)(y+z)(z+x) \geq 8xyz[/TEX]
[TEX]x+y \geq 2sqrt{xy}; y+z \geq 2sqrt{yz}; z+x \geq 2sqrt{xz}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (x+y)(y+z)(z+x) \geq 8xyz[/TEX]
\Rightarrow (4) đúng \Rightarrow [TEX](3a-b-c)(3b-a-c)(3c-a-b) \leq abc (dpcm)[/TEX]