bdt hay

[anhtruong10a9]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

ai giup minh bai nay vs : cho a,b,c>0 cho a+b+c=1
CMR:[TEX] \frac{9}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2}{abc}\geq81[/TEX] ai lam giup minh vs minh lm mai ma khong dk.........

 

[nguyenphu.manh]

Hay

Bài này cũng khá hay.mình sẽ giải chi tiết nha:

Ta có: [TEX]1=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow abc\leq \frac{1}{27}[/TEX]

Mặt khác: [TEX]ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\geq 9abc[/TEX]

[TEX]\Rightarrow abc\leq \frac{ab+bc+ca}{9}[/TEX]

Do đó: [TEX]A=\frac{9}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2}{abc}\geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2}+\frac{18}{ab+bc+ca}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow A \geq 9(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca})[/TEX]

[TEX]\geq \frac{81}{(a+b+c)^2}=81[/TEX] (cauchy schwarz).

 

[nhokpq_ine]

Cách khác:
Để ý rằng: [TEX]\frac{2}{abc}=\frac{2(a+b+c)}{abc}=4(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac})[/TEX]
Vậy bất đẳng thức đã cho tương đương với:
[TEX]\frac{9}{a^2+b^2+c^2}+4(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2bc}+\frac{1}{2ac}) \geq 81[/TEX]
Ta có:[TEX]VT \geq^{Cauchy-Schwarz} \frac{(3+2+2+2)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\frac{81}{(a+b+c)^2}=81[/TEX]
Đẳng thức xảy ra [TEX]\Leftrightarrow a=b=c =\frac{1}{3}[/TEX]
Bài toán được giải quyết hoàn toàn.