Toán 10 BĐT hay và khó

[le thi khuyen01121978]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho 3 số a,b,c thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR:
$a\sqrt{b^{3}+1} + b\sqrt{c^{3}+1} +c\sqrt{a^{3}+1}\leq 5 $
mình chứng minh được đến:
$ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\leq 4$

 

[le thi khuyen01121978]

Đề bài có vẫn đề.

ở đâu bạn?

 

[Kaito Kidㅤ]

Không chết được giả sử [tex]a\geq b\geq c\\\rightarrow (b-a)(b-c)\leq 0\\\rightarrow b^2-ab-bc+ac\leq 0\\\rightarrow ab^2-a^2b-abc+a^2c\leq 0\\\rightarrow ab^2+a^2c\leq a^2b+abc\\\rightarrow ab^2+bc^2+a^2c\leq a^2b+abc+bc^2\leq a^2b+2abc+bc^2=b(a+c)^2=\frac{2b(a+c)^2}{2}\leq \frac{(2b+a+c+a+c)^3}{2.27}=\frac{4(a+b+c)^3}{27}=4[/tex]

[tex]\sum a\sqrt{b^{3}+1}=\sum a\sqrt{(b+1)(b^2-b+1)}\leq \sum \frac{a(b+1+b^2-b+1)}{2}=\sum \frac{ab^2+2a}{2}\leq \frac{4}{2}+3=...[/tex]
Bạn bấm máy tính nốt nhé :V
"=" thì 0 ; 1 ; 2 và các hoán vị

 

[Lê.T.Hà]

Đây là BĐT hoán vị chứ ko phải BĐT đối xứng nên mình nghĩ chỉ có thể giả sử a=mid{a;b;c}, hoặc a=max{a;b;c}, hoặc a=min{a;b;c}, chứ bạn ko thể giả sử [tex]a\geq b\geq c[/tex]
Ta chỉ có quyền giả sử như vậy trong BĐT đối xứng

 

[ankhongu]

Không chết được giả sử [tex]a\geq b\geq c\\\rightarrow (b-a)(b-c)\leq 0\\\rightarrow b^2-ab-bc+ac\leq 0\\\rightarrow ab^2-a^2b-abc+a^2c\leq 0\\\rightarrow ab^2+a^2c\leq a^2b+abc\\\rightarrow ab^2+bc^2+a^2c\leq a^2b+abc+bc^2\leq a^2b+2abc+bc^2=b(a+c)^2=\frac{2b(a+c)^2}{2}\leq \frac{(2b+a+c+a+c)^3}{2.27}=\frac{4(a+b+c)^3}{27}=4[/tex]

[tex]\sum a\sqrt{b^{3}+1}=\sum a\sqrt{(b+1)(b^2-b+1)}\leq \sum \frac{a(b+1+b^2-b+1)}{2}=\sum \frac{ab^2+2a}{2}\leq \frac{4}{2}+3=...[/tex]
Bạn bấm máy tính nốt nhé :V
"=" thì 0 ; 1 ; 2 và các hoán vị

Cho em hỏi, chỗ này chắc gì abc >= 0 mà ta lại có thể đánh giá như thế vậy ạ ?

 

[le thi khuyen01121978]

Không chết được giả sử [tex]a\geq b\geq c\\\rightarrow (b-a)(b-c)\leq 0\\\rightarrow b^2-ab-bc+ac\leq 0\\\rightarrow ab^2-a^2b-abc+a^2c\leq 0\\\rightarrow ab^2+a^2c\leq a^2b+abc\\\rightarrow ab^2+bc^2+a^2c\leq a^2b+abc+bc^2\leq a^2b+2abc+bc^2=b(a+c)^2=\frac{2b(a+c)^2}{2}\leq \frac{(2b+a+c+a+c)^3}{2.27}=\frac{4(a+b+c)^3}{27}=4[/tex]

[tex]\sum a\sqrt{b^{3}+1}=\sum a\sqrt{(b+1)(b^2-b+1)}\leq \sum \frac{a(b+1+b^2-b+1)}{2}=\sum \frac{ab^2+2a}{2}\leq \frac{4}{2}+3=...[/tex]
Bạn bấm máy tính nốt nhé :V
"=" thì 0 ; 1 ; 2 và các hoán vị

bạn ơi cho mình hỏi:
[tex]a^{2}b[COLOR=#ff0000][U]+abc[/U][/COLOR]+bc^{2}\leq a^{2}b[COLOR=#ff0000][U]+2abc[/U][/COLOR]+bc^{2}[/tex] tại sao vậy, giải thích giùm mình với!