[BĐT]Giải giúp !!

N

nguyenminh44

longtt1992 said:
Giải giùm mình bài này :
Cho [TEX]\frac{x^2}{4} + y^2 = 1[/TEX]
Cho 1 hình thoi MNPQ. 4 điểm M, N, P, Q thuộc Elip đó. Tìm Max, Min diện tích MNPQ.
Giải giúp mình nhá :)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Giả sử M(a;b) với [TEX]a^2+4b^2=4[/TEX]

Phuơng trình OM: [TEX]ay=bx[/TEX] (thế này thì an toàn hơn vì nó bao luôn trường hợp M nằm trên trục)

Phương trình ON vuông góc với OM :[TEX]by=-ax[/TEX]

N thuộc Elip, giải hệ ta thu được tọa độ của [TEX]N(\frac{2b}{\sqrt{4a^2+b^2}};\frac{-2a}{\sqrt{4a^2+b^2}})[/TEX]

Do hình thoi có hai đường chéo vuông góc nên

[TEX]S=2OM.ON\Rightarrow S^2=4(a^2+b^2)(\frac{4b^2}{4a^2+b^2}+\frac{4a^2}{4a^2+b^2})[/TEX]

Đến đây mấy đứa làm bất đẳng thức với nhau nhá :D, koi như là tự thân vận động. Không được thì anh sửa sau :D
 
L

longtt1992

nguyenminh44 said:
Giả sử M(a;b) với [TEX]a^2+4b^2=4[/TEX]

Phuơng trình OM: [TEX]ay=bx[/TEX] (thế này thì an toàn hơn vì nó bao luôn trường hợp M nằm trên trục)

Phương trình ON vuông góc với OM :[TEX]by=-ax[/TEX]

N thuộc Elip, giải hệ ta thu được tọa độ của [TEX]N(\frac{2b}{\sqrt{4a^2+b^2}};\frac{-2a}{\sqrt{4a^2+b^2}})[/TEX]

Do hình thoi có hai đường chéo vuông góc nên

[TEX]S=2OM.ON\Rightarrow S^2=4(a^2+b^2)(\frac{4b^2}{4a^2+b^2}+\frac{4a^2}{4a^2+b^2})[/TEX]

Đến đây mấy đứa làm bất đẳng thức với nhau nhá :D, koi như là tự thân vận động. Không được thì anh sửa sau :D
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Anh giải thích rõ hộ em cái, làm sao để có thể đặt được pt của 2 đường thẳng OM và ON. Và sao để tìm được toạ độ điểm N vậy em chưa hiểu gì cả :((
 
N

nguyenminh44

longtt1992 said:
Anh giải thích rõ hộ em cái, làm sao để có thể đặt được pt của 2 đường thẳng OM và ON. Và sao để tìm được toạ độ điểm N vậy em chưa hiểu gì cả :((
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Ak, cái này dễ mà, có gì đâu: Phương trình đường thẳng bất kì qua O luôn có dạng

[TEX]k_1y=k_2x[/TEX]. Mặt khác OM đi qua M, thay toạ độ M vào đó là ra ngay pt [TEX]ay=bx[/TEX] thôi mà?

Còn ON thì do vuông góc với OM (hai đường chéo của hình thoi ý ) nên tích hệ số góc là -1(trong trường hợp có hệ số góc), viết lại dạng trên thì ta được [TEX]by=-ax[/TEX]

Khi đã có phương trình ON, kết hợp với điều kiện [TEX]\frac{x_N^2}{4}+y_N^2=1[/TEX]

giải hệ phương trình (bằng cách bình phương và thế) ta thu được toạ độ của N. Nhớ là dấu sau khi khai căn không quan trọng do tính chất đối xứng giữa N và Q

Thôi, giải luôn cái bất đẳng thức kia

Ta có [TEX]S^2=16\frac{(a^2+b^2)^2}{4a^2+b^2}=16\frac{a^4+2a^2b^2+b^4}{(a^2+4b^2)a^2+b^2}[/TEX]

[TEX]\leq16 \frac{a^4+4a^2b^2+b^2}{a^4+4a^2b^2+b^2}=16[/TEX]
(nhớ là do [TEX]a^2+4b^2=4[/TEX] nên [TEX]b^2 \leq 1 \Rightarrow b^4 \leq b^2[/TEX])
Dấu "=" xảy ra khi [TEX]2ab=4ab ; a^2+4b^2=4[/TEX] (tự giải nhá)

Tìm min: dự đoán min khi [TEX]a^2=b^2=\frac{4}{5}[/TEX]

Ta chứng minh cho [TEX]\frac{a^4+2a^2b^2+b^4}{a^4+4a^2b^2+b^2} \geq \frac{16}{25}[/TEX]

Quy đồng chuyển vế ta thu được [TEX]9a^4-14a^2b^2+25b^4-16b^2 \geq 0[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow 9(a^2-b^2)^2 +4b^2(4b^2+a^2-4) \geq 0[/TEX] đúng

...Công việc lí luận còn lại làm nốt nhá :)
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom