Bđt đề thi hsg Phú Thọ 11-12

T

transformers123

bất đẳng thức trên tương đương với:
$\sum \sqrt{\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}} \ge \sqrt{3}$
đặt $x=\dfrac{1}{a}$ ; $y=\dfrac{1}{b}$ ; $z=\dfrac{1}{c}$ và $x+y+z=3$, khi đó ta cần c/m:
$\sum \sqrt{\dfrac{1}{xy+x+y}} \ge \sqrt{3}$
ta cần chứng minh: $(x+y+1)^2 \ge 3(xy+x+y)$ với mọi $x, \ y$
$\Longrightarrow (x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2 \ge 0$ (luôn đúng)
suy ra:
$\dfrac{1}{\sqrt{xy+x+y}} \ge \dfrac{\sqrt{3}}{x+y+1}$
chứng minh tương tự, ta có:
$\sum \dfrac{1}{\sqrt{xy+x+y}} \ge \sum \dfrac{\sqrt{3}}{x+y+1}$
mặt khác:
$\sum \dfrac{\sqrt{3}}{x+y+1} \ge \dfrac{9\sqrt{3}}{2(x+y+z)+3} = \sqrt{3}$
suy ra:
$\sum \dfrac{1}{\sqrt{xy+x+y}} \ge \sqrt{3}$
từ đây, ta có $\mathfrak{dpcm}$
cho em xin cái tks nha chị=))
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom