bdt dễ đây

[hoangtrongminhduc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho các số dương x,y,z thoả mãn x+y+z=1
cmr
[TEX]\sqrt{2x^2+xy+2y^2}+\sqrt{ 2y^2+yz+2z^2}+\sqrt{ 2z^2+zx+x^2}\geq\sqrt{ 5} [/TEX]

 

[hthtb22]

Ta sẽ chứng minh:
[tex]2\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\geq \sqrt{5}(x+y)[/tex]

Điều phải chứng minh tương đương với:
[tex]4(2x^2+xy+2y^2) \geq 5(x+y)^2[/tex]
\Leftrightarrow [tex]8x^2+4xy+8y^2 \geq 5x^2+10xy+5y^2[/tex]
\Leftrightarrow [tex] 3x^2-6xy+3y^2 \geq 0[/tex]
\Leftrightarrow [tex]3(x-y)^2 \geq 0[/tex]
luôn đúng
Tương tự
Cộng vế \Rightarrow đpcm.
Dấu = xảy ra \Leftrightarrow x=y=z=1/3

 

[vy000]

ta có:
[TEX]\sqrt[]{2x^2+xy+y^2}+\sqrt[]{y^2+yz+z^2}+\sqrt[]{z^2+zx+x^2}[/TEX]

[TEX]=\sqrt[]{\frac{(x+y)^2}{2}+\frac{3x^2}{2}+\frac{3y^2}{2}}+\sqrt[]{\frac{(y+z)^2}{2}+\frac{3y^2}{2}+\frac{3z^2}{2}}+\sqrt[]{\frac{(z+x)^2}{2}+\frac{3z^2}{2}}+\frac{3x^2}{2}[/TEX]

[TEX]\geq \sqrt[]{(\frac{x+y}{\sqrt[]{2}}+\frac{y+z}{\sqrt[]{2}}+\frac{z+x}{\sqrt[]{2}})^2+(\sqrt[]{\frac{3}{2}x}+\sqrt[]{\frac{3}{2}y}+\sqrt[]{\frac{3}{2}z})^2+(\sqrt[]{\frac{3}{2}x}+\sqrt[]{\frac{3}{2}y}+\sqrt[]{\frac{3}{2}z})^2}}[/TEX] (BĐT mincopsky)

[TEX]= \sqrt[]{5(x+y+z)^2} = \sqrt[]{5}[/TEX]