BĐT đại số 10

[angellove_18]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1,Cho thực dương a,b,c biết a+b+c=2012. CMR
[TEX]\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b} \geq 1006[/TEX]
2, Cho $a>-1,b>-1,c>-1$
CMR:[TEX] [\frac{(a+1)(b+1)}{c+1}+\frac{(b+1)(c+1)}{a+1}+\frac{(c+1)(a+1)}{b+1}\geq a+b+c+3[/TEX]
Còm khoảng 12 bài nữa nhưng tạm thời có 2 bài thôi... Anh chị bậc bao giải giúp :v

 

[vipboycodon]

Bài 1 :
Áp dụng bdt schwarz ta có :
$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}$ => đpcm

 

[gf_braga]

Bài 2: $\dfrac{(a+1)(b+1)}{c+1}+\dfrac{(b+1)(c+1)}{a+1}+$ $\dfrac{(c+1)(a+1)}{b+1}\geq a+b+c+3$
Bất đẳng thức tương đương:
$$\dfrac{(a+1)(b+1)}{c+1}-(c+1)+\frac{(b+1)(c+1)}{a+1}-(a+1)+\frac{(c+1)(a+1)}{b+1}-(b+1)\geq 0$$
Ta có: $\dfrac{(a+1)(b+1)}{c+1}-(c+1)=\dfrac{(a+1)(b+1)-(c+1)^2}{c+1}\ge 0$
Điều này hiển nhiên đúng nếu giả xử $a\ge b\ge c$ vì đây là BĐT hoán vị.
Tương tự với các bđt tự , suy ra dpcm

 

[vuive_yeudoi]

Cần chứng minh bất đẳng thức sau khi $a>-1,b>-1,c>-1$ :
$$ \frac{(a+1)(b+1)}{c+1}+\frac{(b+1)(c+1)}{a+1}+ \frac{(c+1)(a+1)}{b+1} \ge a+b+c+3 $$
Đặt :
$$\begin{cases}
& x=a+1 >0 \\
& y=b+1>0 \\
& z=c+1 >0
\end{cases}$$
Lúc đó bất đẳng thức đề bài trở thành :
$$ \frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y} \ge x+y+z \ \text{(1)} $$
Nhớ lại thì với mọi $ A , B , C$ ta có bất đẳng thức quen thuộc sau :
$$ A^2+B^2+C^2 \ge AB+BC+CA $$
Chọn :
$$\begin{cases}
& A=\sqrt{\frac{xy}{z}} \\
& B=\sqrt{\frac{yz}{x}} \\
& C=\sqrt{\frac{zx}{y}}
\end{cases}$$
ta nhận được bất đẳng thức $\text{(1)}$ .

Đó là điều cần chứng minh .