BĐT, cuc trị

[vuotlensophan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) cho x,y thoa man [TEX]x^2+y^2=x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}[/TEX],
CMR:3x+4y\leq5.
2) Cho a,b,c thuoc khoang [1;3], a+b+c=6.
CMR [TEX]a^2+b^2+c^2[/TEX]\leq14.
3) cho x>0.
Tim GTNN cua P= [TEX](x+1/x)^6-(x^6+1/x^6) -2[/TEX].
4) cho x,y,z thoa man 3(x+y+z)+4 \leq[TEX]\frac{27}{4}[/TEX]xyz.
5) cho x\geqxy+1. Tim GTLN cua P=[TEX]\frac{xy}{x^2+y^2}[/TEX]
6) cho a,b,c,d>0 thoa man:ab+4cd+2bc+2ad=9.
Tim MAX: P=[TEX]\sqrt{ab}+2\sqrt{cd}[/TEX]

 

[bboy114crew]

6) cho a,b,c,d>0 thoa man:ab+4cd+2bc+2ad=9.
Tim MAX: P=[TEX]\sqrt{ab}+2\sqrt{cd}[/TEX]

ta có:
[TEX]ab+4cd+2bc+2ad=9 \Leftrightarrow (a+c)(b+2d)=9 [/TEX]
áp dụng BDT C-S:
[TEX]9=(a+c)(b+2d) \geq (\sqrt{ab}+2\sqrt{cd})^2=P^2 \Rightarrow P \leq 3[/TEX]

 

[vuotlensophan]

BT ne

cho x,y,z>0 , [TEX]\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}[/TEX]=6.
P= [TEX]x+y^2+z^3[/TEX].
1) CMR
P\geqx+2y+3z-3.
2) Tim MIN P

 

[asroma11235]

[TEX]P=x+(y^2+1)+(z^3+1+1+1)-3 \geq x+2y+3z-3[/TEX]
b)
[TEX]\Rightarrow 6P \geq (\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z})(x+2y+3z)-18[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 6P \geq (\frac{1}{\sqrt{x}}.\sqrt{x}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{y}}.\sqrt{2y}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{z}}\sqrt{3z} )^2-18 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 6P \geq 18 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow P \geq 3[/TEX]

 

[bboy114crew]

2) Cho a,b,c thuoc khoang [1;3], a+b+c=6.
CMR [TEX]a^2+b^2+c^2[/TEX]\leq14.
3) cho x>0.
Tim GTNN cua P= [TEX](x+\frac{1}{x})^6-(x^6+\frac{1}{x^6}) -2[/TEX].

2) Bài toán tổng quát:

Cho a,b,c thuoc khoang [n-1;n+1], a+b+c=3n.
CMR [TEX]a^2+b^2+c^2\leq3n^2+2[/TEX]
đặt :
[TEX]a_1=a-n[/TEX]
[TEX]b_1=b-n[/TEX]
[TEX]c_1=c-n[/TEX]
\Rightarrow [TEX]a_1;b_1;c_1 \in [-1;1][/TEX]và :
[TEX]a_1+b_1+c_1=0[/TEX]
ta có:
[TEX]a^2+b^2+c^2 = \sum(a_1+n)^2 = 3n^2+\sum a_1^2(1)[/TEX]
ta thấy:
[TEX](a_1.b_1)(c_1.b_1)(a_1.c_1)=(a_1.b_1.c_1)^2 \geq 0[/TEX]
nên trong ba số phải có 1 số ko âm.Gải sử [TEX]a_1.b_1 \geq 0[/TEX]
khi đó:
[TEX]2 \geq 2c_1^2 = c_1^2+(-c_1)^2=c_1^2+(a_1+b^1)^2 = \sum a_1^2+2a_1.b_1 \geq \sum a_1^2(2)[/TEX]
từ (1) và (2)
[TEX]\Rightarrow a^2+b^2+c^2\leq3n^2+2 [/TEX]
3) [TEX]P=(x+\frac{1}{x})^6-(x^6+\frac{1}{x^6} -2=(x+\frac{1}{x})^6-(x^3+\frac{1}{x^3})^2[/TEX]
sao tìm được min?