BĐT của bạn namonthi

[dinhhaivnn1994]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c la các số thực dương.CMR

[tex]\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{ \frac{c+a}{b}} \geq 2(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}} +\sqrt{\frac{c}{a+b}})[/tex]
Đây là một bài BĐT của bạn namonthi bên mục nhòm LTĐH đảm bảm , do mình không post được bên đó nên qua đây @@

Ta có BĐT \Leftrightarrow [tex]\sum{\sqrt{\frac{a+b}{c}}}-2\sum{\sqrt{\frac{c}{a+b}}}\geq0[/tex]
[tex]VT=\sum{\frac{a+b-2c}{\sqrt{c(a+b)}}[/tex]
[tex]\geq\sum{\frac{2\sqrt{2}(a+b-2c)}{2c+a+b} theo AM-GM[/tex]
Từ đó chỉ cần c/m:
[tex]\sum\frac{a+b-2c}{2c+a+b}\geq0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\sum\frac{2a+2b}{2c+a+b}\geq3[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\sum\frac{a+b}{2c+a+b}\geq\frac{3}{2}[/tex]
[tex]VT\geq\frac{4(a+b+c)^2}{\sum(a+b)(2c+a+b)} \geq \frac{3}{2}[/tex]
Tới đây bạn tương đương là xong

 

[quyenuy0241]

[tex]\Leftrightarrow\sum\frac{a+b}{2c+a+b}\geq\frac{3}{2}[/tex]

[TEX]\frac{a+b}{(c+a)+(c+b)}+\frac{a+c}{(a+b)+(b+c)}+ \frac{b+c}{(a+b)+(a+c)} \ge \frac{3}{2}[/TEX] [TEX]Nesbit[/TEX]

 

[duynhan1]

cho a,b,c la các số thực dương.CMR

[tex]\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{ \frac{c+a}{b}} \geq 2(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}} +\sqrt{\frac{c}{a+b}})[/tex]
Đây là một bài BĐT của bạn namonthi bên mục nhòm LTĐH đảm bảm , do mình không post được bên đó nên qua đây @@

Ta có BĐT \Leftrightarrow [tex]\sum{\sqrt{\frac{a+b}{c}}}-2\sum{\sqrt{\frac{c}{a+b}}}\geq0[/tex]
[tex]VT=\sum{\frac{a+b-2c}{\sqrt{c(a+b)}}[/tex]
[tex]\geq\sum{\frac{2\sqrt{2}(a+b-2c)}{2c+a+b} theo AM-GM[/tex]

Đoạn này AM-GM sai rồi , có biết a+b-2c>0 hay a+b-2c<0 đâu mà AM-GM

 

[dinhhaivnn1994]

cho a,b,c la các số thực dương.CMR

[tex]\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{ \frac{c+a}{b}} \geq 2(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}} +\sqrt{\frac{c}{a+b}})[/tex]
Đây là một bài BĐT của bạn namonthi bên mục nhòm LTĐH đảm bảm , do mình không post được bên đó nên qua đây @@

Ta có BĐT \Leftrightarrow [tex]\sum{\sqrt{\frac{a+b}{c}}}-2\sum{\sqrt{\frac{c}{a+b}}}\geq0[/tex]
[tex]VT=\sum{\frac{a+b-2c}{\sqrt{c(a+b)}}[/tex]
[tex]\geq\sum{\frac{2\sqrt{2}(a+b-2c)}{2c+a+b} theo AM-GM[/tex]
Từ đó chỉ cần c/m:
[tex]\sum\frac{a+b-2c}{2c+a+b}\geq0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\sum\frac{2a+2b}{2c+a+b}\geq3[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\sum\frac{a+b}{2c+a+b}\geq\frac{3}{2}[/tex]
[tex]VT\geq\frac{4(a+b+c)^2}{\sum(a+b)(2c+a+b)} \geq \frac{3}{2}[/tex]
Tới đây bạn tương đương là xong

Như bạn duynhan1 nói lời giải trên của mình bị lỗi khi sử dụng BĐT AM-GM , sau đây là lời giải mới của mình
Ta chứng mình bất đẳng thức sau:
x,y > 0
[tex]\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}} \geq \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x+y}}(1)[/tex]
BĐT này các bạn chỉ cần tương đương rồi AM-GM là xong.
Áp dụng
[tex]\sqrt{2}VT=\sum{\sqrt{\frac{2(a+b)}{c}}} \geq \sum{\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{c}}}(theo CS)[/tex]
[tex]=\sum{\sqrt{a}(\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}})[/tex]
[tex]=\sum{\sqrt{a}(\frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{bc}}) \geq 2\sqrt{2}\sum{\sqrt{\frac{a}{b+c}} = \sqrt{2}VP[/tex]
Vậy BĐT được C/m dấu "=" xảy ra khi a=b=c