Toán BĐT Cô - si

[Mai Hải Đăng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ Cho [tex]x\geq 1;y\geq 1[/tex]
CMR: [tex]x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\leq xy[/tex]
2/ Cho [tex]o < x,y,z < 2[/tex]
CMR: [tex]2(x+y+z)-(xy+yz+xz)< 4[/tex]
3/ Cho [tex]x,y,z>0[/tex] thỏa mãn [tex]x^{3}+y^{3}+z^{3}=1[/tex]
CMR: [tex]\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{1-y^{2}}}+\frac{z^{2}}{\sqrt{1-z^{2}}}\geq 2[/tex]
4/ Cho [tex]a,b,c>0[/tex]
CMR: [tex](a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9[/tex]

 

[Kuro Jin]

1/ Cho [tex]x\geq 1;y\geq 1[/tex]
CMR: [tex]x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\leq xy[/tex]
2/ Cho [tex]o < x,y,z < 2[/tex]
CMR: [tex]2(x+y+z)-(xy+yz+xz)< 4[/tex]
3/ Cho [tex]x,y,z>0[/tex] thỏa mãn [tex]x^{3}+y^{3}+z^{3}=1[/tex]
CMR: [tex]\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{1-y^{2}}}+\frac{z^{2}}{\sqrt{1-z^{2}}}\geq 2[/tex]
4/ Cho [tex]a,b,c>0[/tex]
CMR: [tex](a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9[/tex]

Bài 4:
Với a,b,c>0 có
([tex](a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/tex]
[tex]= 1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1[/tex]

 

[Kuro Jin]

Bài 4:
Với a,b,c>0 có
([tex](a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/tex]
[tex]= 1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1[/tex]

=[tex]=3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})[/tex]
Với m,n >0 có
[tex]\frac{m}{n}+\frac{n}{m}-2[/tex]
=[tex]\frac{m^{2}-2mn+n^{2}}{mn}[/tex]
=[tex]\frac{(m+n)^{2}}{mn}[/tex]
Có [tex](m+n)^2\geq 0[/tex] với mọi m,n >0
mn>0 với mọi m,n>0
Do đó:[tex]\frac{(m+n)^2}{mn}\geq 0[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{m}{n}+\frac{n}{m}-2\geq 0[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{m}{n}+\frac{n}{m}\geq 2[/tex] (1)
Dấu '=' xảy ra <=>m=n
Có a,b,c>0
Áp dụng bất đẳng thức (1) với m=a;n=b ta được:
[tex]\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2[/tex]
Chứng minh tương tự có:
[tex]\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\geq 2[/tex]
[tex]\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\geq 2[/tex]
Do đó
3+[tex]\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\geq 9[/tex]
=>[tex](a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9[/tex]
Dấu '=' xảy ra<=>a=b=c ;a,b,c>0