BĐT Cô si

[bcd_hau_vodoi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Chứng minh:[tex]\frac{x^2}{y^2}+ \frac{y^2}{z^2}+ \frac{z^2}{x^2}= \frac{x}{y} +\frac{y}{z} +\frac{z}{x}[/tex] với các số dương x; y; z.

2. Cho [tex]x\sqrt{1 - y^2} + y \sqrt{1 - x^2}[/tex] = 1. Chứng minh: [tex]x^2 + y^2 = 1[/tex].:khi (15):

 

[nguyengiahoa10]

2

\[x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {1 - {x^2}} \mathop \leqslant \limits^{BCS} \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {2 - ({x^2} + {y^2})} \right)\]
\[ \Rightarrow \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {2 - ({x^2} + {y^2})} \right) \geqslant 1\]
\[t = {x^2} + {y^2} \Rightarrow t(2 - t) \geqslant 1 \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 1 \leqslant 0\]
\[ \Leftrightarrow {(t - 1)^2} \leqslant 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow \boxed{{x^2} + {y^2} = 1}\]

 

[braga]

$\fbox{1}. \\ \text{BDT}\iff \dfrac{x^2}{y^2}+ \dfrac{y^2}{z^2}+ \dfrac{z^2}{x^2}- \dfrac{x}{y} -\dfrac{y}{z} -\dfrac{z}{x}\ge 0 \\ \iff \left(\dfrac{x^2}{y^2}-\dfrac{2x}{y}+1\right) +\left(\dfrac{y^2}{z^2}-\dfrac{2x}{z}+1\right)+ \left(\dfrac{z^2}{x^2}-\dfrac{2z}{x}+1\right)+ \dfrac{x}{y} +\dfrac{y}{z} +\dfrac{z}{x}\ge 3 \\ \iff \left(\dfrac{x}{y}-1\right)^2+\left(\dfrac{y}{z}-1\right)^2+\left(\dfrac{z}{x}-1\right)^2+\dfrac{x}{y} +\dfrac{y}{z} +\dfrac{z}{x}\ge 3\text{(Luôn đúng theo Cauchy)}$

 

[braga]

$\fbox{2}. \text{Theo} \ Cauchy-Schwarz \ \text{ta có:} \\ 1=\left(x\sqrt{1-y^2}+\sqrt{1-x^2}.y\right)^2\le (x^2+1-x^2)(1-y^2+y^2)=1 \\ \implies \dfrac{x}{\sqrt{1-y^2}}=\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{y} \\ \text{Từ đó} \implies x^2+y^2=1$

 

[bcd_hau_vodoi]

Em có cách khác ạ:

Đặt A =[tex] \frac{x^2}{y^2}[/tex] + [tex] \frac{y^2}{z^2}[/tex] + [tex] \frac{z^2}{x^2}[/tex].

Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki với 2 bộ số ( [tex] \frac{x}{y}[/tex]; [tex] \frac{y}{z}[/tex]; [tex] \frac{z}{x}[/tex] ) và (1 ; 1 ; 1), ta có:

[([tex] \frac{x}{y}[/tex])^2 + ([tex] \frac{y}{z}[/tex])^2 + ([tex] \frac{z}{x}[/tex])^2] + (1^2 + 1^2 + 1^2) \geq ([tex] \frac{x}{y}[/tex] + [tex] \frac{y}{z}[/tex] + [tex] \frac{z}{x}[/tex])^2
\Leftrightarrow 3A \geq ([tex] \frac{x}{y}[/tex] + [tex] \frac{y}{z}[/tex] + [tex] \frac{z}{x}[/tex])^2. (1)

Áp dụng BĐT Cô si vào 3 số dương [tex] \frac{x}{y}[/tex]; [tex] \frac{y}{z}[/tex]; [tex] \frac{z}{x}[/tex], ta có:

[tex] \frac{x}{y}[/tex] + [tex] \frac{y}{z}[/tex] + [tex] \frac{z}{x}[/tex] \geq 3. [tex]\sqrt[3]{\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x}}[/tex]
\Leftrightarrow [tex] \frac{x}{y}[/tex] + [tex] \frac{y}{z}[/tex] + [tex] \frac{z}{x}[/tex] \geq 3. (2)

Nhân vế (1) và vế (2), ta có:
3A([tex] \frac{x}{y}[/tex] + [tex] \frac{y}{z}[/tex] + [tex] \frac{z}{x}[/tex]) \geq 3([tex] \frac{x}{y}[/tex] + [tex] \frac{y}{z}[/tex] + [tex] \frac{z}{x}[/tex])^2
\Leftrightarrow A \geq [tex] \frac{x}{y}[/tex] + [tex] \frac{y}{z}[/tex] + [tex] \frac{z}{x}[/tex]
\Leftrightarrow [tex] \frac{x^2}{y^2}[/tex] + [tex] \frac{y^2}{z^2}[/tex] + [tex] \frac{z^2}{x^2}[/tex] \geq [tex] \frac{x}{y}[/tex] + [tex] \frac{y}{z}[/tex] + [tex] \frac{z}{x}[/tex].(đpcm):M064::M064:

 

[bcd_hau_vodoi]

$\fbox{2}. \text{Theo} \ Cauchy-Schwarz \ \text{ta có:} \\ 1=\left(x\sqrt{1-y^2}+\sqrt{1-x^2}.y\right)^2\le (x^2+1-x^2)(1-y^2+y^2)=1 \\ \implies \dfrac{x}{\sqrt{1-y^2}}=\dfrac{\sqrt{1-x^2}}{y} \\ \text{Từ đó} \implies x^2+y^2=1$

Cách nào cũng đúng cả nhỉ. Sao nguyengiahoa10 làm giống mình thế nhỉ???

 

[nguyengiahoa10]

Cách nào cũng đúng cả nhỉ. Sao nguyengiahoa10 làm giống mình thế nhỉ???

Chắc là do tư tưởng lớn gặp nhau =))
Nhưng mình thấy bạn nên làm theo cách của braga, không cần phải biến đổi nhiều mà lại nhanh hơn nữa
Nếu được chọn các bộ số để áp dụng BĐT BCS thì tại sao lại không chọn những bộ số nào giúp công việc của ta được dễ dàng nhất? Sau đó dùng điều kiện dấu bằng xảy ra để suy ra đpcm. Cách này chuẩn hơn cách của mình đấy )