BĐT cô si

[heart_foryou_9x]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Nhờ các bạn giúp mình cm bđt cô si cho 3 số không âm.
Cảm ơn nhìu

 

[vy000]

có :[TEX]a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\geq0[/TEX]
\Rightarrow [TEX]a^3+b^3+c^3\geq3abc[/TEX]
chứng tỏ..

 

[meomiutiunghiu]

Hớhớ , anh chị tham khảonhé
đặt x = căn bậc ba của a ; y = căn bậc ba của b ; z = căn bậc ba của c
Suy ra x,y,z [TEX]\geq[/TEX] 0
Suy ra x + y + z[TEX]\geq[/TEX] 0
BĐT quy về [TEX]x^3 + y^3 + z^3 \geq[/TEX] 3xyz
[TEX](x+y)^3 - 3xy( x + y) + z^3 -3xyz[/TEX][TEX] \geq 0[/TEX]
[TEX]( x + y + z )[ ( x + y)^2 - ( x + y)z + z^2 ] -3xy( x + y + z ) \geq 0[/TEX]
[TEX]( x + y + z)( x^2 + y^ + z^ + 2xy - xz - yz ) -3xy( x + y + z ) \geq 0[/TEX]
[TEX]( x + y + z )( x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx ) \geq 0[/TEX]
[TEX]( x + y + z )( 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2zx ) \geq 0[/TEX]
[TEX]( x + y + z )[ ( x - y )^2 + ( y - z )^2 + ( x - z )^2] \geq0 [/TEX](đúng với mọi x,y,z ≥ 0)
Dấu bằng xảy ra khi : x = y = z
Tương đương a = b = c

 

[son9701]

Cách khác,áp dụng cô-si 2 số:
[TEX]a+b+c+\sqrt[3]{abc}= (a+b)+(c+\sqrt[3]{abc}) \geq 2\sqrt{ab}+2\sqrt{c.\sqrt[3]{abc}} \geq 4\sqrt[4]{abc\sqrt[3]{abc}}=4\sqrt[3]{abc}[/TEX]

nên : [TEX]a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}[/TEX]