BĐt cô-si

[apple_new]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Áp dụng bất đẳng thức cô-si để tìm cực trị
bất đẳng thức cô-si :
-Với a,b[TEX]\geq[/TEX]0 ta luôn có : [TEX]a+b\geq2\sqrt{ab}[/TEX] (dấu “=” xảy ra khi a=b)
-với 3 số a,b,c\geq0 ta luôn cóa+b+c\geq[TEX]3\sqrt[3]{abc}[/TEX](dấu “=” xảy ra khi a=b=c)
-Với n số [TEX]{{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}}...{{a}_{n}}[/TEX] ta luôn có :
[TEX]{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+...+{{a}_{n}}\ge n\sqrt[n]{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}...{{a}_{n}}}[/TEX](dấu “=” xảy ra khi[TEX]{{a}_{1}}={{a}_{2}}={{a}_{3}}=...={{a}_{n}}[/TEX])
*Phương pháp : để tìm cực trị của 1 biểu thức ,ta tìm cực trị của bình phương biểu thức sau đó khai căn.
VD1: tìm GTLN của
A=[TEX]\sqrt{3x-5}+\sqrt{7-3x}[/TEX] (đkxđ: [TEX]\frac{5}{3}\le x\le \frac{7}{3}[/TEX])
\Rightarrow [TEX]{{A}^{2}}={{(\sqrt{3x-5}+\sqrt{7-3x})}^{2}}\[/TEX]
[TEX]=3x-5+7-3x+2\sqrt{(3x-5)(7-3x)}[/TEX]
[TEX]=2+2\sqrt{(3x-5)(7-3x)}[/TEX]
Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có:
[TEX]=2+2\sqrt{(3x-5)(7-3x)}[/TEX][TEX]=2+3x-5+7-3x[/TEX]=4
Vậy [TEX]{{A}^{2}}\leq[/TEX]4 . Dấu “=” xảy ra khi 3x-5=7-3x\Rightarrowx=2 (thỏa mãn)
Từ đó ta có :[TEX]{{A}^{2}}\le 4\Leftrightarrow x=2[/TEX]
[TEX] \Rightarrow A\le 2\Leftrightarrow x=2[/TEX]
vậy giá trị lớn nhất của A là 2 khi đó x=2
VD2: cho 3 số thực x,y,z\geq 0thỏa mãn [TEX]{{x}^{1997}}+{{y}^{1997}}+{{z}^{1997}}=[/TEX]3 . tìm GTLN của [TEX]S={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}[/TEX]
Các bạn thử tự chứng minh xem ….. mai post tiếp phương pháp 2.
thank nha

 

[thienlong_cuong]

Áp dụng bất đẳng thức cô-si để tìm cực trị
bất đẳng thức cô-si :
-Với a,b[TEX]\geq[/TEX]0 ta luôn có : [TEX]a+b\geq2\sqrt{ab}[/TEX] (dấu “=” xảy ra khi a=b)
-với 3 số a,b,c\geq0 ta luôn cóa+b+c\geq[TEX]3\sqrt[3]{abc}[/TEX](dấu “=” xảy ra khi a=b=c)
-Với n số [TEX]{{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}}...{{a}_{n}}[/TEX] ta luôn có :
[TEX]{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+...+{{a}_{n}}\ge n\sqrt[n]{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}...{{a}_{n}}}[/TEX](dấu “=” xảy ra khi[TEX]{{a}_{1}}={{a}_{2}}={{a}_{3}}=...={{a}_{n}}[/TEX])
*Phương pháp : để tìm cực trị của 1 biểu thức ,ta tìm cực trị của bình phương biểu thức sau đó khai căn.
VD1: tìm GTLN của
A=[TEX]\sqrt{3x-5}+\sqrt{7-3x}[/TEX] (đkxđ: [TEX]\frac{5}{3}\le x\le \frac{7}{3}[/TEX])
\Rightarrow [TEX]{{A}^{2}}={{(\sqrt{3x-5}+\sqrt{7-3x})}^{2}}\[/TEX]
[TEX]=3x-5+7-3x+2\sqrt{(3x-5)(7-3x)}[/TEX]
[TEX]=2+2\sqrt{(3x-5)(7-3x)}[/TEX]
Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có:
[TEX]=2+2\sqrt{(3x-5)(7-3x)}[/TEX][TEX]=2+3x-5+7-3x[/TEX]=4
Vậy [TEX]{{A}^{2}}\leq[/TEX]4 . Dấu “=” xảy ra khi 3x-5=7-3x\Rightarrowx=2 (thỏa mãn)
Từ đó ta có :[TEX]{{A}^{2}}\le 4\Leftrightarrow x=2[/TEX]
[TEX] \Rightarrow A\le 2\Leftrightarrow x=2[/TEX]
vậy giá trị lớn nhất của A là 2 khi đó x=2
VD2: cho 3 số thực x,y,z\geq 0thỏa mãn [TEX]{{x}^{1997}}+{{y}^{1997}}+{{z}^{1997}}=[/TEX]3 . tìm GTLN của [TEX]S={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}[/TEX]
Các bạn thử tự chứng minh xem ….. mai post tiếp phương pháp 2.
thank nha

Ví dụ 2 :
Với BĐT holder thì ta dễ dàng chứng minh đc

[TEX](x^{1997} + y^{1997} + z^{1997})^2(1 + 1 + 1)^{1995} \geq (x^2 + y^2 + z^2)^{1997}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 3^{1997} \geq(x^2 + y^2 + z^2)^{1997} [/TEX]

[TEX]\Rightarrow 3 \geq x^2 + y^2 + z^2[/TEX]

(cách làm này cũng chả khác gì cách làm
[TEX]x^{1997} + x^{1997} + 1995 \geq 1997x^2[/TEX] cả !

Ở VD1 mình nghĩ dùng BĐT [TEX](a + b)^2 \leq 2(a^2 + b^2)[/TEX] chém cho nó dễ nhìn !

 

[apple_new]

Phương pháp 2 : nhân chia biểu thức đã cho với cùng một số .
Ví dụ: tìm GTLN của A=[TEX]\frac{\sqrt{x-9}}{5x}(x\ge 9)[/TEX]
A=[TEX]\frac{\sqrt{x-9}}{5x}(x\ge 9)[/TEX]
=[TEX]\frac{\sqrt{3.\frac{x-9}{3}}}{5x}[/TEX] áp dụng BĐT cô-si ta có :
A=[TEX]\frac{\sqrt{3.\frac{x-9}{3}}}{5x}[/TEX]\leq [TEX]\frac{\frac{\frac{x-9}{3}+3}{2}}{5x}[/TEX]=[TEX]\frac{\frac{\frac{x}{3}}{2}}{5x}[/TEX]=[TEX]\frac{1}{30}[/TEX]
Dấu “=” xảy ra khi [TEX]\frac{x-9}{3}=3\Leftrightarrow x=18[/TEX]
Phương pháp 3: biến đổi biểu thức đã cho thành tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số.
Vậy GTLN của A là [TEX]\frac{1}{30}[/TEX]khi đó x=18.
a)tách tử số thành nhiều hạng tử bằng nhau.
VD: tìm GTLN của : A=[TEX]\frac{3{{x}^{4}}+16}{{{x}^{3}}}=3x+\frac{16}{{{x}^{3}}}[/TEX]
A=[TEX]\frac{3{{x}^{4}}+16}{{{x}^{3}}}=3x+\frac{16}{{{x}^{3}}}[/TEX]
=[TEX]x+x+x+\frac{16}{{{x}^{3}}}\ge 4\sqrt[4]{x.x.x.\frac{16}{3}}=8[/TEX]
Dấu bằng sảy ra khi [TEX]\frac{16}{{{x}^{3}}}=x[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x=2[/TEX]
Vậy GTNN của A=8 khi đó x=2

Thank mình cái nha

 

[apple_new]

Phương pháp 4: Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho
VD: Cho 3 sỗ,y,z thỏa mãn điều kiện :x+y+z=2
Tìm GTNN của P=[TEX]{{\frac{x}{y+z}}^{2}}+\frac{{{y}^{2}}}{z+x}+\frac{{{z}^{2}}}{x+y}[/TEX]
P= [TEX]{{\frac{x}{y+z}}^{2}}+\frac{{{y}^{2}}}{z+x}+\frac{{{z}^{2}}}{x+y}[/TEX]
áp dụng BĐT cô-si ta có:
[TEX]\frac{{{x}^{2}}}{y+z}+\frac{y+z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{{{x}^{2}}}{4}}=x[/TEX] (1)
[TEX]\frac{{{y}^{2}}}{x+z}+\frac{x+z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{{{y}^{2}}}{4}}=y[/TEX] (2)
[TEX]\frac{{{x}^{2}}}{x+y}+\frac{x+y}{4}\geq 2\sqrt{\frac{{{z}^{2}}}{4}}=z[/TEX] (3)
Cộng vế với vế 3 BĐT ta có :
[TEX]\frac{{{x}^{2}}}{y+z}+\frac{{{y}^{2}}}{x+z}+\frac{{{z}^{2}}}{x+y}+\frac{2(x+y+z)}{4}\geq x+y+z[/TEX]
[TEX]\frac{{{x}^{2}}}{y+z}+\frac{{{y}^{2}}}{x+z}\frac{{{z}^{2}}}{x+y}\geq 2-1=1[/TEX]
Vậy GTNN của P là 1 khi đó x=y=z=[TEX]\frac{2}{3}[/TEX]
thank nha ... ai đang nghiên cứu BĐT bô-ni-a thì pm mình