BĐT Chebyshev

[vietnam_pro_princess]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Ai chứng minh giùm mình BĐT Chebyshev đc ko?
Nó như thế này:

[TEX]\huge *[/TEX]với [TEX]\huge a \ge b ; x \ge y[/TEX] thì:[TEX]\huge (a+b)(x+y) \le 2(ax+by)[/TEX]

[TEX]\huge *[/TEX]với [TEX]\huge a \ge b \ge c[/TEX] và [TEX]\huge x \ge y \ge z [/TEX]thì [TEX]\huge (a+b+c)(x+y+z) \le 3(ax+by+xz)[/TEX]

[TEX]\huge *[/TEX]dạng tổng quát : với mọi [TEX]\huge a_1 \ge a_2 \ge ...\ge a_n;b_1\ge b_2\ge ...\ge b_n[/TEX] thì

[TEX]\huge (a_1+a_2+...a_n)(b_1+b_2+...b_n) \ge n(a_1b_1+a_2b_2+...a_nb_n)[/TEX]

 

[vodichhocmai]

[TEX]\huge (a_1+a_2+...a_n)(b_1+b_2+...b_n) \ge n(a_1b_1+a_2b_2+...a_nb_n)[/TEX]

Không biết nó tên gì nhưng biết nó từ

[TEX]\huge n(a_1b_1+a_2b_2+...a_nb_n) -(a_1+a_2+...a_n)(b_1+b_2+...b_n)=\sum_{i,j=1}^{n-1}\(a_i-a_{j}\) \(b_i-b_{j}\) [/TEX]

 

[lamanhnt]

mình xin cm như sau:
bằng phân tích trực tiếp, ta có:
[tex]n(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)-(a_1+a_2+...+a_n)(b_1+b_2+b_3+...+b_n)[/tex]= [tex] \sum\limits_{i,j=1}^{n} {(a_i-a_j)(b_i-b_j)} \geq0[/tex]
vì hai dãy [tex]a_1, a_2, ..a_n[/tex] và [tex]b_1, b_2, ..., b_n[/tex] đơn điệu cùng chiều nên [TEX](a_i-a_j)(b_i-b_j)\geq0[/TEX]
nếu 2 dãy [tex]a_1, a_2, ..a_n[/tex] và [tex]b_1, b_2, ..., b_n[/tex] đơn điệu cùng chièu thì bất đẳng thức đổi chiều.

 

[vodichhocmai]

Nói chung cách này đi thi là OK nhưng phải nhớ đẳng thức Cheby

Thôi Ou lunn

 

[le_tien]

Cái bất đẳng thức j mà loằng ngoằn thế nhỉ ... chebyshev j đó chắc là của Nga rồi ... mí anh chị cho xem vài dạng bài tập để hiểu rõ rõ hơn tý được không .... Ngoài Cauchy ra em thì chỉ biết đến Bunhia thôi ah

 

[vodichhocmai]

Cái bất đẳng thức j mà loằng ngoằn thế nhỉ ... chebyshev j đó chắc là của Nga rồi ... mí anh chị cho xem vài dạng bài tập để hiểu rõ rõ hơn tý được không .... Ngoài Cauchy ra em thì chỉ biết đến Bunhia thôi ah

Cho [TEX]a,b,c,d>0 [/TEX] thoả mãn [TEX]a^2+b^2+c^2+d^2=1[/TEX] chứng minh rằng

[TEX]a^5+b^5+c^5+d^5\ge \frac{a^3+b^3+c^3+d^3}{4}[/TEX]

 

[lamanhnt]

dùng bđt này ta phải chú ý đến chiều của các biến, thg phải sắp xếp lại thứ tự các biến. Bt thường yêu cầu đối xứng hoàn toàn giữa các biến, việc dắp xếp trật tự sẽ không làm mất tính tổng quát cho bài toán, thường dùng để cm các bđt lượng giác
VD:
CMR với mọi tam giác [tex]ABC[/tex] ta có:
[tex]\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}>=\frac{pi}{3}[/tex]
giải: ko mất tính tổng quát giả sử: [tex]a<=b<=c <=> A<=B<=C[/tex]
theo Chebyshev thì:
[tex]\frac{(a+b+C}{3}.\frac{A+B+C}{3}[/tex][tex]<= \frac{aA+bB+cC}{3}[/tex]
=>[tex] \frac{aA+bB+cC}{3}>=\frac{A+B+C}{3}[/tex]=[tex]\frac{pi}{3}[/tex]
đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều.

 

[takotinlaitrungten]

cho mình hỏi chút nha!có phải lúc làm bài muốn sử dụng cái này thì phải cm ngay trong bài luôn ko?vì nó ko có trong SGK thầy nói thế!^^

 

[bigbang195]

cho mình hỏi chút nha!có phải lúc làm bài muốn sử dụng cái này thì phải cm ngay trong bài luôn ko?vì nó ko có trong SGK thầy nói thế!^^

tất nhiên là phải chứng minh thêm chứ .

 

[vnzoomvodoi]

với đề chung của cả tỉnh (TP) chắc chẳng bao giờ dùng đến bđt này!
Còn hãn hữu lắm ở đề thi TH hay SP hoặc PTNK thì bạn vẫn phải chứng minh theo mình nhớ thì các bđt được dùng mà ko cần chứng minh chỉ có Cô-si (AM-GM) với tối đa 3 số và Bu-nhi-a-cốp-xki với 2 bộ số thôi

 

[vietnam_pro_princess]

với đề chung của cả tỉnh (TP) chắc chẳng bao giờ dùng đến bđt này!
Còn hãn hữu lắm ở đề thi TH hay SP hoặc PTNK thì bạn vẫn phải chứng minh theo mình nhớ thì các bđt được dùng mà ko cần chứng minh chỉ có Cô-si (AM-GM) với tối đa 3 số và Bu-nhi-a-cốp-xki với 2 bộ số thôi

Còn cả một số hằng bất đẳng thức và BĐT đơn giản trong hình học. Mà AM-GM chỉ đc sử dụng với 2 số thôi, 3 số trở lên là phải chứng minh.

 

[vnzoomvodoi]

Thực tế trong khi thi các trường chuyên người ta vẫn cho áp dụng luôn AM-GM với 3 số (ĐHKHTN) chẳng hạn.
Với AM-GM từ 4 số trở nên là phải dùng qui nạp.

 

[pham_van_hao]

day hinh nhu la bat dang thuc tre bu sep chung minh chon a_i,b_i gi do