Toán 8 BĐT Cauchy

[Only Normal]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $a,b,c>0$
CMR :
$$\dfrac{1}{b(b+a)}+ \dfrac{1}{c(c+b)}+\dfrac{1}{a(a+c)} \ge \dfrac{9}{2(ab+bc+ca)}$$

 

[kido2006]

Cho $a,b,c>0$
CMR :
$$\dfrac{1}{b(b+a)}+ \dfrac{1}{c(c+b)}+\dfrac{1}{a(a+c)} \ge \dfrac{9}{2(ab+bc+ca)}$$

[tex]2(ab+bc+ca)\left (\dfrac{1}{b(b+a)}+ \dfrac{1}{c(c+b)}+\dfrac{1}{a(a+c)} \right ) \\ = \left [(b+a)c+(b+c)a+(a+c)b \right ] \left (\dfrac{1}{b(b+a)}+ \dfrac{1}{c(c+b)}+\dfrac{1}{a(a+c)} \right )\\ \geq^{C-S}\left ( \sqrt{\dfrac{c}{b}}+ \sqrt{\dfrac{a}{c}}+ \sqrt{\dfrac{b}{a}} \right )^2\geq \left ( 3\sqrt[3]{\sqrt{\dfrac{c}{b}}. \sqrt{\dfrac{a}{c}}. \sqrt{\dfrac{b}{a}}} \right )^2=9\\ \Rightarrow \dfrac{1}{b(b+a)}+ \dfrac{1}{c(c+b)}+\dfrac{1}{a(a+c)} \geq \dfrac{9}{2(ab+bc+ca)}[/tex]

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^

 

[Only Normal]

[tex]2(ab+bc+ca)\left (\dfrac{1}{b(b+a)}+ \dfrac{1}{c(c+b)}+\dfrac{1}{a(a+c)} \right ) \\ = \left [(b+a)c+(b+c)a+(a+c)b \right ] \left (\dfrac{1}{b(b+a)}+ \dfrac{1}{c(c+b)}+\dfrac{1}{a(a+c)} \right )\\ \geq^{C-S}\left ( \sqrt{\dfrac{c}{b}}+ \sqrt{\dfrac{a}{c}}+ \sqrt{\dfrac{b}{a}} \right )^2\geq \left ( 3\sqrt[3]{\sqrt{\dfrac{c}{b}}. \sqrt{\dfrac{a}{c}}. \sqrt{\dfrac{b}{a}}} \right )^2=9\\ \Rightarrow \dfrac{1}{b(b+a)}+ \dfrac{1}{c(c+b)}+\dfrac{1}{a(a+c)} \geq \dfrac{9}{2(ab+bc+ca)}[/tex]

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^

C-S là cái gì vậy anh @@?

 

[kido2006]

C-S là cái gì vậy anh @@?

Cauchy-Schwarz nhé

 

[Only Normal]

[tex]2(ab+bc+ca)\left (\dfrac{1}{b(b+a)}+ \dfrac{1}{c(c+b)}+\dfrac{1}{a(a+c)} \right ) \\ = \left [(b+a)c+(b+c)a+(a+c)b \right ] \left (\dfrac{1}{b(b+a)}+ \dfrac{1}{c(c+b)}+\dfrac{1}{a(a+c)} \right )\\ \geq^{C-S}\left ( \sqrt{\dfrac{c}{b}}+ \sqrt{\dfrac{a}{c}}+ \sqrt{\dfrac{b}{a}} \right )^2\geq \left ( 3\sqrt[3]{\sqrt{\dfrac{c}{b}}. \sqrt{\dfrac{a}{c}}. \sqrt{\dfrac{b}{a}}} \right )^2=9\\ \Rightarrow \dfrac{1}{b(b+a)}+ \dfrac{1}{c(c+b)}+\dfrac{1}{a(a+c)} \geq \dfrac{9}{2(ab+bc+ca)}[/tex]

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^

Do em vẫn chưa học mấy cái biến đổi về căn thức nên em làm cách này được không ạ?
Em nhớ có 1 BĐT phụ đặc biệt là :

Không biết từ dòng 2 có thể suy ra ra $\ge 9$ được không ạ ?

 

[kido2006]

Do em vẫn chưa học mấy cái biến đổi về căn thức nên em làm cách này được không ạ?
Em nhớ có 1 BĐT phụ đặc biệt là :
View attachment 200189
Không biết từ dòng 2 có thể suy ra ra $\ge 9$ được không ạ ?

không được đâu em vì hệ số không triệt tiêu được hết . Em có thể dùng AM-GM cho 3 số cũng được
[tex]2(ab+bc+ca)\left (\dfrac{1}{b(b+a)}+ \dfrac{1}{c(c+b)}+\dfrac{1}{a(a+c)} \right ) \\ = \left [(b+a)c+(b+c)a+(a+c)b \right ] \left (\dfrac{1}{b(b+a)}+ \dfrac{1}{c(c+b)}+\dfrac{1}{a(a+c)} \right )\\ \geq3\sqrt[3]{(b+a)c.(b+c)a.(a+c)b}. 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{b(b+a)}.\dfrac{1}{c(c+b)}.\dfrac{1}{a(a+c)}}=9\\ \Rightarrow ...[/tex]