BĐT Cauchy

[bcd_hau_vodoi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho x>0; y>0; x + y \leq 1. Chứng minh: ( 1 / x^2 + xy ) + ( 1 / y^2 + xy )\geq 4.
2. Cho 0<a<b<c<d. Chứng minh: (b + c)(1/b + 1/c) < (a + d)^2 / ad.:M058::M058::M058:

 

[nguyenbahiep1]

1. Cho x>0; y>0; x + y \leq 1. Chứng minh: P = ( 1 / x^2 + xy ) + ( 1 / y^2 + xy ) 4.

[laTEX]P = \frac{1}{x+y}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}) \geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{2}{\sqrt{xy}} \\ \\ ta-co: 1 \geq x+y \geq 2\sqrt{xy} \Rightarrow \sqrt{xy} \leq \frac{1}{2} \\ \\ \Rightarrow \frac{2}{\sqrt{xy}} \geq 2.2 = 4 \Rightarrow P \geq 4\\ \\ dau-bang-xay-ra: x = y = \frac{1}{2}[/laTEX]

 

[bcd_hau_vodoi]

Nhưng mà em thấy thầy giải cách này

Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương a, b ta có a + b/2 \geq [tex]\sqrt{ab}[/tex]
1 / a + 1 / b \geq 2[tex]\sqrt{1/a . 1/b}[/tex] \Rightarrow (a + b)(1 / a + 1 / b)\geq 2[tex]\sqrt{ab}[/tex] . 2[tex]\sqrt{1/a . 1/b}[/tex]
Suy ra: (a + b)(1/a + 1/b)\geq4
\Rightarrow 1/a + 1/b \geq4/ a + b.
Áp dụng vào bài toán ta có:
(1 / x^2 + xy) + (1 / y^2 + xy)\geq(4 / x^2 + xy + y^2 + xy) = 4 / (x + y)^2\geq4 (do x + y\leq1).:khi (2)::khi (2)::khi (2):

 

[braga]

[laTEX]P = \frac{1}{x+y}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}) \geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{2}{\sqrt{xy}} \\ \\ ta-co: 1 \geq x+y \geq 2\sqrt{xy} \Rightarrow \sqrt{xy} \leq \frac{1}{2} \\ \\ \Rightarrow \frac{2}{\sqrt{xy}} \geq 2.2 = 4 \Rightarrow P \geq 4\\ \\ dau-bang-xay-ra: x = y = \frac{1}{2}[/laTEX]

$$\dfrac{1}{x^2+xy}+\dfrac{1}{y^2+xy}\ge \dfrac{4}{x^2+y^2+2xy}=\dfrac{4}{(x+y)^2}=4 \ (Cauchy-Schwarz)$$