BĐT cần giúp đỡ !!

[katanaoa]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x;y>0 thỏa mãn xy=1
CMR:[TEX]\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+x}\geq1[/TEX]

 

[duynhan1]

Cho x;y thỏa mãn xy=1
CMR:[TEX]\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+x}\geq1[/TEX]

Ta có từ giả thiết suy ra : [TEX]\left{ x^2 + y^2 \ge 2 \\ x+ y \ge 2 [/TEX]

[TEX]\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+x} = \frac{x^4}{x+xy} + \frac{y^4}{y+xy} \ge \frac{(x^2+y^2)^2}{x+y+2} \ge \frac{(x+y)^2 }{x+y+2} [/TEX]

Cần chứng minh :

[TEX] (x+y)^2 \ge x+ y + 2 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow ( x+ y + 1 )( x + y - 2 ) \ge 0[/TEX]( luôn đúng do [TEX]x+ y \ge 2[/TEX])