BĐT Bu nha cốp ski

[wingedra]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

B1 : x,y,z [TEX]\geq 0, x + y + z \leq 1[/TEX] CMR:

[TEX]\sqrt{x^2 + \frac{1}{x^2}} [/TEX] + [TEX]\sqrt{y^2 + \frac{1}{y^2}} [/TEX] + [TEX]\sqrt{z^2 + \frac{1}{z^2}} [/TEX] [TEX]\geq \sqrt{82}[/TEX]

B2: Cho a,b,c > 0. CMR

[TEX]\frac{a^3}{b+c} + \frac{b^3}{a+c} + \frac{c^3}{a+b} \geq \frac{ab+bc+ca}{2} [/TEX]

 

[pink_bunny]

BĐT cần chứng minh có tính đối xứng nên dấu bằng xảy ra khi x=y=z
Theo gt x,y,z\geq0 và x+y+z=1
\RightarrowBĐT xảy ra \Leftrightarrow x=y=z=1/3
Giải:
Áp dụng BĐT cô-si cho 82 số
x^2 ; 1/81x^2 ; .......1/81X^2 >0
\Rightarrowcăn bậc 2 của x^2 +1/x^2\geqcăn 82 nhân căn 81 của 1/9^81 nhân 81x
tương tự với y,z
\RightarrowA\geqcăn 82
Dấu = xảy ra\Leftrightarrowx=y=x=1/3
Thông cảm m mới k pít gõ công thức toán

 

[wingedra]

bạn ơi bài này dùng được bu nha đó, thử nghĩ bu nha xem ntn ?

 

[pink_bunny]

Vậy à.m sẽ gắng
....................................

 

[pink_bunny]

Đầu tiên ta cm :
p=a^3/b+c + b^3/c+a + c^3/a+b\geq (a+b+c)^2/6
Áp dụng cô-si có:
a^3/b+c + (b+c)^2/8 + a^3/a+b\geq 3a^2/2
Mà (b+2)^2/8 \leqb^2+c^2/4
\Rightarrow(b+2)^2/8 \leq b^2/4 + c^2/4
\Rightarrow2a^2/b+c + b^2+c^2/4 \geq 3a^2/2
Tương tự:
b^3/b+c \geq 3b^2/2
c^3/a+b \geq 3c^2/2
suy ra điều cần cm
Tiếp cm : (a+b+c)^6 \geq ab+bc+ca/2
Cái này biến đổi \Leftrightarrow là ra. Bạn làm tiếp nhé

 

[happy.swan]

Cách trên đúng nhưng theo yêu cầu dùng Bunhia.
Bạn cần chú ý rằng BDT Côsi-swac là 1 dạng của Bunhia.
Ta có:
$\frac{a^4}{a(b+c)}+\frac{b^4}{b(a+c)}+\frac{c}{c(b+a)}$ \geq $\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+ac+bc)}$

Mặt khác, a;b;c >0
Có: $a^2 +b^2+c^2$ \geq ab+ac+bc

=>$(a^2+b^2+c^2)^2$ \geq $(ab+ac+bc)^2$
Nhân 2 và biến đổi suy ra đpcm.

 

[h0cmai.vn...tru0ng]

Giải B1


@pink_bunny : Mình không hiểu cách làm của bạn lắm ... bạn có thể giả sử $x=y=z=1/3$ trong khi $x+y+z$\leq$1$ sao ? Mình mới học lớp 10 mong bạn giải thích thêm chổ này với .... thanks .
B1 này áp dụng bunhiacopxki
Ta có
$x+\frac{9}{x}$\leq$\sqrt{1+81}\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^2}}$(1)
$y+\frac{9}{y}$\leq$\sqrt{1+81}\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^2}}$(2)
$z+\frac{9}{z}$\leq$\sqrt{1+81}\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^2}}$(3)
Cộng (1)(2)(3) ta được
$\sqrt{82}(\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{z^2}})$\geq$81(x+y+z)+9(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-80(x+y+z)$\geq$2.9.3\sqrt{(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)}-80=162-80=82$
.... ~~> đ p c m
P.S