[BĐT] Bất đẳng thức khó!

[nach_rat_hoi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Ai giúp bài BĐT này với, suy nghĩ 2 hôm rồi mà chưa ra.
1.Cho a,b,c dương. [TEX]{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}=3[/TEX]
Tìm giá trị nhỏ nhất của:
[TEX]P=\frac{{a}^{2}}{b+2c}+\frac{{b}^{2}}{c+2a}+\frac{{c}^{2}}{a+2b}[/TEX]

 

[dinhhaivnn1994]

Bài của bạn giải như sau nè :
[tex]P=\sum\frac{a^2}{b+2c}[/tex]

[tex]=\sum\frac{a^2}{\sqrt{(b+c+c)^2}[/tex]

[tex]\geq \sum\frac{a^2}{\sqrt{3(b^2+2c^2)}[/tex]

[tex]\Rightarrow P\sqrt{3} \geq \sum\frac{a^2}{\sqrt{b^2+2c^2}}[/tex]

Đặt [tex] a^2=x[/tex]

[tex]b^2=y[/tex]

[tex]c^2=z[/tex]

Ta có [tex]x,y,z > 0[/tex]

[tex]x+y+z=3[/tex]

[tex]P\sqrt{3} \geq \sum\frac{x}{\sqrt{y+2z}}[/tex]

[tex]=\sum\frac{x^2}{\sqrt{x} \sqrt{xy+2xz}[/tex]

[tex]\geq\frac{(x+y+z)^2}{\sum\sqrt{x}\sqrt{xy+2xz}}[/tex] [tex](CS)[/tex]

[tex]\geq\frac{(x+y+z)^2}{\sqrt{(x+y+z)(3xy+3yz+3zx)}[/tex] [tex](CS)[/tex]

[tex]\geq \frac{(x+y+z)^2}{\sqrt{(x+y+z)(x+y+z)^2}[/tex]

[tex]=\sqrt{x+y+z}[/tex]

[tex]=\sqrt{3}[/tex]

[tex]\Rightarrow P \geq 1[/tex]
Vậy GTNN của P là 1 dấu " = " xảy ra khi a=b=c=1

 

[nach_rat_hoi]

[tex]P\sqrt{3} \geq \sum\frac{x}{\sqrt{y+2z}}[/tex]

[tex]=\sum\frac{x^2}{\sqrt{x} \sqrt{xy+2xz}[/tex]

[tex]\geq\frac{(x+y+z)^2}{\sum\sqrt{x}\sqrt{xy+2xz}}[/tex] [tex](CS)[/tex]

[tex]\geq\frac{(x+y+z)^2}{\sqrt{(x+y+z)(3xy+3yz+3zx)}[/tex] [tex](CS)[/tex]

[tex]\geq \frac{(x+y+z)^2}{\sqrt{(x+y+z)(x+y+z)^2}[/tex]

[tex]=\sqrt{x+y+z}[/tex]

[tex]=\sqrt{3}[/tex]

[tex]\Rightarrow P \geq 1[/tex]
Vậy GTNN của P là 1 dấu " = " xảy ra khi a=b=c=1

Từ chỗ CS trở đi khó hiểu quá,bạn có thể làm rõ hơn được k? THANKS!

 

[dinhhaivnn1994]

cái dấu = đầu tiên là mình nhân thêm cả tử và mẫu cho x rồi cái mẫu tách ra thằng 2 cái căn x 1 cai nhân phân phối cón 1 cái để nguyên
cái CS là BĐT Cauchy-Schwarzt . Nó thực ra là BĐT Bunhiaskopski thôi bạn Nhưng nó có nhiều biến thể nên gọi chung là CS
Cái CS thứ nhất là mình dùng BĐT CS dạng [tex]\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z} \geq \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}[/tex] điều kiện thị bạn tự gắn thêm vào nhé
Cái CS thứ 2 mình dùng BĐT CS ở dạng này nè [tex](a^2+b^2+c^2)(d^2+e^2+f^2) \geq (ad+be+cf)^2[/tex]
Bạn chỉ cần để ý kĩ chiều của BĐT là sẽ ra được mình sử dụng như thế nào . cái 3xy+3yz+3zx là mình thu gọn từ đống xy+2xz+yz+2yx+zx+2zy
Phần còn lại chỉ là thu gọn rồi thế x+y+z=3 thôi

 

[nach_rat_hoi]

OK.tớ hiểu rồi. Áp dụng cosi-svaxo va bunhiacopxiki, thanks!