Bđt 9

[The explorer]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài này làm ntn ạ?
Cho a,b,c dương và abc=1
Cmr: 1/a^3(b+c) + 1/b^3(a+c) +1/c^3(a+b) >= 3/2

 

[lovekris.exo_178@yahoo.com]

Bài này làm ntn ạ?
Cho a,b,c dương và abc=1
Cmr: 1/a^3(b+c) + 1/b^3(a+c) +1/c^3(a+b) >= 3/2

A = 1/ [a³(b+c)] +1/ [b³(a+c)] +1/ [ c³(a+b)]
Ta có 1 / [a³(b+c)] = b²c²/[a(b+c)] , do abc = 1 ==> 1/a² = b²c².
biến đổi tương tự cho các biểu thức còn lại và đặt ab = x, bc = y, ac = z
Suy ra A = x²/(y+z) + y²/(x+z) + z²/(x+y)
áp dụng buniacopski ta có A [ √(y+z)² + √(x+z)² + √(x+y)² ] ≥ (x+y+z)²
==> A ≥ 1/2*(x+y+z)²/(x+y+z) = 1/2( x+y+z) ≥ 3/2 √xyz = 3/2 √(abc)² = 3/2 abc =3/2 (DPCM)

*nguồn: mạng^^

 

[candyiukeo2606]

Vì abc = 1 => [tex]a = \frac{1}{bc}[/tex] ; [tex]b = \frac{1}{ac}[/tex] ; [tex]c = \frac{1}{ab}[/tex]
Ta có:
A = [tex]\frac{1}{a^3(b + c)} + \frac{1}{b^3(a + c)} + \frac{1}{c^3(a + b)}[/tex]
= [tex]\frac{1}{a^2(ab + ac)} + \frac{1}{b^2(ab + bc)} + \frac{1}{c^2(ac + bc)}[/tex]
= [tex]\frac{b^2c^2}{ab + ac} + \frac{a^2c^2}{ab + bc} + \frac{a^2b^2}{ac + bc}[/tex]
=> [tex]\frac{b^2c^2}{ab + ac} + \frac{ab + ac}{4} + \frac{a^2c^2}{ab + bc} + \frac{ab + bc}{4} + \frac{a^2b^2}{ac + bc} + \frac{ac + bc}{4}[/tex] [tex]\geq ab + bc + ac[/tex] (Áp dụng BĐT Cauchy)
=> [tex]A \geq ab + bc + ac - \frac{2(ab + bc + ac)}{4} = \frac{ab + bc + ac}{2}[/tex]
Mà [tex]ab + bc + ac \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} = 3[/tex]
=> [tex]A \geq \frac{3}{2}[/tex]
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1