Toán BĐT 9 khó

[phuonganh2404]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Với x,y,z>0. cmr:
[tex]\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}} \geq \sqrt{3}(x+y+z)[/tex]

 

[Cuprum]

Với x,y,z>0. cmr:
[tex]\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}} \geq \sqrt{3}(x+y+z)[/tex]

Ta có: $\sqrt{x^2+xy+y^2}=\sqrt{\frac{1}{4}(x-y)^2+\frac{3}{4}(x+y)^2}\ge \frac{\sqrt{3}}{2}(x+y)$.
Dấu $=$ xảy ra tại $x=y$.
Tương tự ta có: $\sqrt{y^2+yz+z^2}\ge \frac{\sqrt{3}}{2}(y+z)$ và $\sqrt{z^2+zx+x^2}\ge \frac{\sqrt{3}}{2}(z+x)$.
Cộng lại ta có dpcm