BDT-1CAU HOI CAN GIAI DAP NGAY cuc kho

[ahxd123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c>0;a+b+c=abc.cm|:

a/(b^3)+b/(c^3)+c/(a^3)\geq1

 

[tuyn]

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
[TEX] \frac{a}{b^3}+ \frac{a}{b^3}+ \frac{1}{a^2} \geq 3. \frac{1}{b^2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{2a}{b^3} \geq \frac{3}{b^2}- \frac{1}{a^2}[/TEX]
Tương tự ta có:
[TEX] \frac{2b}{c^3} \geq \frac{3}{c^2}- \frac{1}{b^2}, \frac{2c}{a^3} \geq \frac{3}{a^2}- \frac{1}{c^2}[/TEX]

Cộng vế với vế các BĐT trên ta được:
[TEX]P= \frac{a}{b^3}+ \frac{b}{c^3}+ \frac{c}{a^3} \geq \frac{1}{a^2}+ \frac{1}{b^2}+ \frac{1}{c^2}(1)[/TEX]
Mặt khác:
[TEX] \frac{1}{a^2}+ \frac{1}{b^2}+ \frac{1}{c^2} \geq \frac{1}{ab}+ \frac{1}{bc}+ \frac{1}{ca}(2)[/TEX]

Theo giả thiết có:
[TEX]a+b+c=abc \Leftrightarrow \frac{1}{ab}+ \frac{1}{bc}+ \frac{1}{ca}=1(3)[/TEX]
Từ (1),(2) và (3) suy ra: P \geq 1
Dấu "=" xảy ra khi [TEX]a=b=c= \sqrt{3}[/TEX]