H
huynhbachkhoa23
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Chắc ai đã học qua BDT Cauchy cũng biết đến kỹ thuật cân bằng hệ số rồi.
Giờ em xin share một phương pháp không dùng cân bằng hệ số để tìm điểm rơi. Và phương pháp này có vẻ sẽ dễ dàng hơn đối với trình độ 12. Đó là nhân tử Lagrange.
Và lưu ý, topic chỉ chia sẻ kiến thức nên sẽ kết thúc rất sớm.
Ví dụ 1:
Cho $a,b,c >0$ và $a^2+b^2+c^2=1$
Tìm GTNN của $A=a^3+2b^3+3c^3$
Nháp:
Ta đặt $A=L=a^3+2b^3+3c^3-\lambda(a^2+b^2+c^2-1)$
$\lambda$ gọi là nhân tử hằng chưa xác định.
Ta tính đạo hàm riêng cấp 1 của $L$ theo biến $a$, nghĩa là coi $a$ là biến và $b,c$ là tham số.
$\dfrac{dL}{da}=3a^2-2\lambda a = 0$
Rồi đạo hàm riêng cấp 1 của $L$ theo biến $b$ và rồi đến biến $c$:
$\dfrac{dL}{db}=6b^2-2\lambda b = 0$
$\dfrac{dL}{dc}=9c^2-2\lambda c = 0$
Suy ra được:
$$ 2\lambda = 3a=6b=9c \rightarrow a^2=4b^2=9c^2 $$
Thế vào $a^2+b^2+c^2=1$ được: $(a;b;c)=(\dfrac{6}{7}; \dfrac{3}{7}; \dfrac{2}{7})$
Giải:
$a^3+a^3+(\dfrac{6}{7})^3 \ge\dfrac{18}{7}a^2$
$2b^3+2b^3+2(\dfrac{3}{7})^3 \ge \dfrac{18}{7}b^2$
$3c^3+3c^3+3(\dfrac{2}{7})^3 \ge \dfrac{18}{7}c^2$
Suy ra $a^3+2b^3+3c^3 \ge \dfrac{6}{7}$.
Lữu ý: $\dfrac{df}{dx}=f'(x)$
Ví dụ 2:
Cho $a,b> 0$ thoả $a+b \ge 6$. Tìm GTNN của $B=3a+2b+\dfrac{6}{a}+\dfrac{8}{b}$
Đầu tiên ta tìm điểm rơi để dễ dàng cho việc phân tích.
Dự đoán điểm rơi tại $a+b=6$
Đặt $L=3a+2b+\dfrac{6}{a}+\dfrac{8}{b} -\lambda(a+b-6)$
$\dfrac{dL}{da}=3-\dfrac{6}{a^2}-\lambda=0$
$\dfrac{dL}{db}=2-\dfrac{8}{b^2}-\lambda =0$
Suy ra $\lambda = 3-\dfrac{6}{a^2}=2-\dfrac{8}{b^2}$ và kết hợp với $a+b=6$ cho ta $a=2; b=4$
Giải:
$B=\dfrac{3}{2}a+\dfrac{6}{a}+\dfrac{1}{2}b+\dfrac{8}{b}+\dfrac{3}{2}(a+b)\ge 2\sqrt{\dfrac{3.6.a}{2.a}}+2\sqrt{\dfrac{8b}{2b}}+9 = 19$
Ví dụ 3:
Cho $x;y;z \ge 0$ và $x+y+z=1$. Tìm GTNN của $x^3+y^3+\dfrac{z^3}{2}$
Ý tưởng là tìm điểm rơi và áp dụng Cauchy.
Thiết lập hàm số Lagrange: $L=x^3+y^3+\dfrac{1}{2}z^3-\lambda(x+y+z-1)$
$\dfrac{dL}{dx}=3x^2-\lambda = 0$
$\dfrac{dL}{dy}=3y^2-\lambda = 0$
$\dfrac{dL}{dz}=\dfrac{3}{2}z^2-\lambda = 0$
Suy ra $\lambda = 3x^2=3y^2=\dfrac{3}{2}z^2$
Suy ra $x=y=\dfrac{z}{\sqrt{2}}$
Thế vào $x+y+z=1$ được: $(x;y;z)=(\dfrac{2-\sqrt{2}}{2};\dfrac{2-\sqrt{2}}{2};-1+\sqrt{2})$
Đến đây chắc ai cũng biết làm hết rồi.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Tìm GTNN của $A=a^2+b^2+c^3$
Bài 2: Cho $a,b,c>0$ và $a+4b+9c=6$. Tìm GTNN của $B=a^3+b^3+c^3$
Bài 3: Cho $a,b,c>0$ và $2a+4b+3c^2=68$. Tìm GTNN của $C=a^2+b^2+c^3$
Bài 4: Cho $x;y >0$ và $x+y \ge 4$. Tìm GTNN của $P=\dfrac{3x^2+4}{4x}+\dfrac{2+y^3}{y^2}$
Không cần đăng lời giải lên pic này cũng được, và anh chị cứ hỏi thoải mái về phương pháp này
Giờ em xin share một phương pháp không dùng cân bằng hệ số để tìm điểm rơi. Và phương pháp này có vẻ sẽ dễ dàng hơn đối với trình độ 12. Đó là nhân tử Lagrange.
Và lưu ý, topic chỉ chia sẻ kiến thức nên sẽ kết thúc rất sớm.
Ví dụ 1:
Cho $a,b,c >0$ và $a^2+b^2+c^2=1$
Tìm GTNN của $A=a^3+2b^3+3c^3$
Nháp:
Ta đặt $A=L=a^3+2b^3+3c^3-\lambda(a^2+b^2+c^2-1)$
$\lambda$ gọi là nhân tử hằng chưa xác định.
Ta tính đạo hàm riêng cấp 1 của $L$ theo biến $a$, nghĩa là coi $a$ là biến và $b,c$ là tham số.
$\dfrac{dL}{da}=3a^2-2\lambda a = 0$
Rồi đạo hàm riêng cấp 1 của $L$ theo biến $b$ và rồi đến biến $c$:
$\dfrac{dL}{db}=6b^2-2\lambda b = 0$
$\dfrac{dL}{dc}=9c^2-2\lambda c = 0$
Suy ra được:
$$ 2\lambda = 3a=6b=9c \rightarrow a^2=4b^2=9c^2 $$
Thế vào $a^2+b^2+c^2=1$ được: $(a;b;c)=(\dfrac{6}{7}; \dfrac{3}{7}; \dfrac{2}{7})$
Giải:
$a^3+a^3+(\dfrac{6}{7})^3 \ge\dfrac{18}{7}a^2$
$2b^3+2b^3+2(\dfrac{3}{7})^3 \ge \dfrac{18}{7}b^2$
$3c^3+3c^3+3(\dfrac{2}{7})^3 \ge \dfrac{18}{7}c^2$
Suy ra $a^3+2b^3+3c^3 \ge \dfrac{6}{7}$.
Lữu ý: $\dfrac{df}{dx}=f'(x)$
Ví dụ 2:
Cho $a,b> 0$ thoả $a+b \ge 6$. Tìm GTNN của $B=3a+2b+\dfrac{6}{a}+\dfrac{8}{b}$
Đầu tiên ta tìm điểm rơi để dễ dàng cho việc phân tích.
Dự đoán điểm rơi tại $a+b=6$
Đặt $L=3a+2b+\dfrac{6}{a}+\dfrac{8}{b} -\lambda(a+b-6)$
$\dfrac{dL}{da}=3-\dfrac{6}{a^2}-\lambda=0$
$\dfrac{dL}{db}=2-\dfrac{8}{b^2}-\lambda =0$
Suy ra $\lambda = 3-\dfrac{6}{a^2}=2-\dfrac{8}{b^2}$ và kết hợp với $a+b=6$ cho ta $a=2; b=4$
Giải:
$B=\dfrac{3}{2}a+\dfrac{6}{a}+\dfrac{1}{2}b+\dfrac{8}{b}+\dfrac{3}{2}(a+b)\ge 2\sqrt{\dfrac{3.6.a}{2.a}}+2\sqrt{\dfrac{8b}{2b}}+9 = 19$
Ví dụ 3:
Cho $x;y;z \ge 0$ và $x+y+z=1$. Tìm GTNN của $x^3+y^3+\dfrac{z^3}{2}$
Ý tưởng là tìm điểm rơi và áp dụng Cauchy.
Thiết lập hàm số Lagrange: $L=x^3+y^3+\dfrac{1}{2}z^3-\lambda(x+y+z-1)$
$\dfrac{dL}{dx}=3x^2-\lambda = 0$
$\dfrac{dL}{dy}=3y^2-\lambda = 0$
$\dfrac{dL}{dz}=\dfrac{3}{2}z^2-\lambda = 0$
Suy ra $\lambda = 3x^2=3y^2=\dfrac{3}{2}z^2$
Suy ra $x=y=\dfrac{z}{\sqrt{2}}$
Thế vào $x+y+z=1$ được: $(x;y;z)=(\dfrac{2-\sqrt{2}}{2};\dfrac{2-\sqrt{2}}{2};-1+\sqrt{2})$
Đến đây chắc ai cũng biết làm hết rồi.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Tìm GTNN của $A=a^2+b^2+c^3$
Bài 2: Cho $a,b,c>0$ và $a+4b+9c=6$. Tìm GTNN của $B=a^3+b^3+c^3$
Bài 3: Cho $a,b,c>0$ và $2a+4b+3c^2=68$. Tìm GTNN của $C=a^2+b^2+c^3$
Bài 4: Cho $x;y >0$ và $x+y \ge 4$. Tìm GTNN của $P=\dfrac{3x^2+4}{4x}+\dfrac{2+y^3}{y^2}$
Không cần đăng lời giải lên pic này cũng được, và anh chị cứ hỏi thoải mái về phương pháp này
Last edited by a moderator: