BĐT 10 khó

[nhokdangyeu01]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1Cho x,y,z dương khác 0. CM
$\frac{1}{x^3+y^3+xyz}$+$\frac{1}{y^3+z^3+xyz}$+ $\frac{1}{z^3+x^3+xyz}$ \leq $\frac{1}{xyz}$
2Cho x,y,z dương sao cho xyz=1. CM
$\frac{1}{(1+x)^2}$+$\frac{1}{(1+y)^2}$+$\frac{1}{(1+z)^2}$ \geq $\frac{3}{4}$

 

[thang271998]

1Cho x,y,z dương khác 0. CM
$\frac{1}{x^3+y^3+xyz}$+$\frac{1}{y^3+z^3+xyz}$+ $\frac{1}{z^3+x^3+xyz}$ \leq $\frac{1}{xyz}$

Chứng minh bđt phụ:
a^3+b^3\geq ab(a+b)
\Leftrightarrow $(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)$\geq0
\Leftrightarrow $(a+b)(a^2-2ab+b^2)$\geq0
\Leftrightarrow $(a+b)(a-b)^2 \geq 0$, (ĐÚng)


Áp dụng:
$a^3+b^3$ \geq $ab(a+b)$
\Leftrightarrow $a^3+b^3+abc$\geq $ab(a+b)+abc$
\Leftrightarrow $\frac{1}{a^3+b^3+abc}$\leq $\frac{1}{ab(a+b)+abc}$ (1)
Tương tự:
$\frac{1}{b^3+c^3+abc}$\leq$\frac{1}{bc(b+c)+abc}$ (2)
$\frac{1}{c^3+a^3+abc}$\leq$\frac{1}{ca(c+a)+abc}$ (3)
(1)(2)(3)\Rightarrow đpcm

 

[soicon_boy_9x]

Bài 2:

Đặt $x=\dfrac{bc}{a^2};y=\dfrac{ac}{b^2} \rightarrow z=\dfrac{ab}
{c^2}$

Ta có:

$\sum \dfrac{1}{(1+x)^2}=\sum \dfrac{1}{(1+\dfrac{bc}
{a^2})^2}=\sum \dfrac{a^4}{(a^2+bc)^2} \geq \dfrac{(\sum
a^2)^2}{\sum (a^2+bc)^2}$

Ta cần chứng minh $\dfrac{(\sum a^2)^2}{\sum (a^2+bc)^2} \geq
\dfrac{3}{4}$

$\leftrightarrow \sum 4a^4+\sum 8a^2b^2 \geq \sum 3a^4+\sum 6a^2bc
+\sum 3b^2c^2$

$\leftrightarrow \sum a^4+\sum 5a^2b^2 \geq \sum 6a^2bc(1)$

Lại có: $a^4+b^2c^2 \geq 2a^2bc \\ b^4+a^2c^2 \geq 2b^2ac \\ c^4+a^2b^2
\geq 2c^2ab \\ 2(a^2b^2+b^2c^2) \geq 4b^2ac \\ 2(b^2c^2+a^2c^2) \geq
4c^2ab \\ 2(a^2b^2+2a^2c^2) \geq 4a^2bc$

Cộng từng vế ta được bất đẳng thức $(1)$ đúng

$\leftrightarrow \sum \dfrac{1}{(1+x)^2} \geq \dfrac{(\sum a^2)^2}{\sum
(a^2+bc)^2} \geq \dfrac{3}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c \leftrightarrow x=y=z=1$

 

[braga]

Bài 2:

Đặt $x=\dfrac{bc}{a^2};y=\dfrac{ac}{b^2} \rightarrow z=\dfrac{ab}
{c^2}$

Ta có:

$\sum \dfrac{1}{(1+x)^2}=\sum \dfrac{1}{(1+\dfrac{bc}
{a^2})^2}=\sum \dfrac{a^4}{(a^2+bc)^2} \geq \dfrac{(\sum
a^2)^2}{\sum (a^2+bc)^2}$

Ta cần chứng minh $\dfrac{(\sum a^2)^2}{\sum (a^2+bc)^2} \geq
\dfrac{3}{4}$

$\leftrightarrow \sum 4a^4+\sum 8a^2b^2 \geq \sum 3a^4+\sum 6a^2bc
+\sum 3b^2c^2$

$\leftrightarrow \sum a^4+\sum 5a^2b^2 \geq \sum 6a^2bc(1)$

Lại có: $a^4+b^2c^2 \geq 2a^2bc \\ b^4+a^2c^2 \geq 2b^2ac \\ c^4+a^2b^2
\geq 2c^2ab \\ 2(a^2b^2+b^2c^2) \geq 4b^2ac \\ 2(b^2c^2+a^2c^2) \geq
4c^2ab \\ 2(a^2b^2+2a^2c^2) \geq 4a^2bc$

Cộng từng vế ta được bất đẳng thức $(1)$ đúng

$\leftrightarrow \sum \dfrac{1}{(1+x)^2} \geq \dfrac{(\sum a^2)^2}{\sum
(a^2+bc)^2} \geq \dfrac{3}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c \leftrightarrow x=y=z=1$

Trong 3 số $x,y,z$ tồn tại 2 số đều không nhỏ hơn 1 hoặc đều không lớn hơn 1.
Giả sử là $x,y$. Khi đó ta có:
$(x-1)(y-1)\ge0$
$\Leftrightarrow 1+xy\ge x+y$
$\Leftrightarrow 2(1+xy)\ge(1+x)(1+y)$
$\Leftrightarrow \dfrac{2}{(1+x)(1+y)}\ge\dfrac{1}{1+xy}$
Ta có:
$VT\ge\dfrac{2}{(1+x)(1+y)}+\dfrac{1}{(1+z)^2}$
$\ge\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{(1+z)^2}$
$=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{z}}+\dfrac{1}{(1+z)^2}$
$=\dfrac{3}{4}+\dfrac{(z-1)^2}{4(z+1)^2}\ge\dfrac{3}{4}$
Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=z=1$