Toán 8 Bất phương trình

[thuong.emc@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng:
a) [tex]\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/tex] (với a, b, c>0)
b) [tex]\frac{a^{3}+b^{3}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{3}[/tex] với [tex]a\geq 0, b\geq 0[/tex]
c) [tex]a^{5}-b^{5}\geq ab^{4} - a^{4}b[/tex] (với a>b)
d) [tex]a^{2}+2b^{2}-2ab+4a-6b+5\geq 0[/tex]

 

[Lê Tự Đông]

a)Ta có:
$(a-b)^{2} +(b-c)^{2}+(c-a)^{2} >=0$
$ a^{2} + b^{2} -2ab + b^{2} + c^{2} -2bc + c^{2} + a^{2} - 2ac >=0$
=> $2(a^{2}+b^{2}+c^{2})>= 2(ab+bc+ca)$
=> $a^{2}+b^{2}+c^{2}>= ab+bc+ca$
=> $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{abc} >=\frac{ab+bc+ca}{abc}$
$\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca} + \frac{c}{ab} >= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ (đpcm)
b) ta có:
$a^{3}+b^{3}-a^{2}b-ab^{2} = a^{2}(a-b) - b^{2}(a-b) = (a-b)(a^{2}-b^{2}) = (a-b)(a-b)(a+b) = (a-b)^{2}(a+b)>=0$ (do a,b >=0)
=> $a^{3}+b^{3}>=a^{2}b+ab^{2}$
=> $3.(a^{3}+b^{3})>=3.(a^{2}b+ab^{2})$
=> $4.(a^{3}+b^{3})>=3.(a^{2}b+ab^{2})+a^{3}+b^{3} = (a+b)^3$
=> $\frac{4.(a^{3}+b^{3})}{8}>=\frac{(a+b)^3}{8}$
=> đpcm
c)Ta có:
$a^{5}+b^{5}-a^{4}b-ab^{4} = a^{4}(a-b) - b^{4}(a-b) = (a-b)(a^{4}-b^{4}) = (a-b)^{2}(a^{2}+b^{2})(a+b)>=0$(do a,b>=0)
=>đpcm
d) Ta có:
$a^{2}+2b^{2}-2ab+4a-6b+5 = (a-b)^{2} + 4(a-b) + 4 + b^{2} - 2b + 1 = (a-b+2)^{2} + (b-1)^{2}>=0$(đpcm)