[imath]VT=\dfrac{a^2}{ab^2+a\sqrt{c}}+\dfrac{b^2}{bc^2+b\sqrt{a}}+\dfrac{c^2}{ca^2+c\sqrt{b}} \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{(ab^2+bc^2+ca^2)+(a\sqrt{c}+b\sqrt{a}+c\sqrt{b})}=\dfrac{9}{(ab^2+bc^2+ca^2)+(a\sqrt{c}+b\sqrt{a}+c\sqrt{b})}[/imath]
Theo BĐT Cauchy - Schwartz ta có [imath](a\sqrt{c}+b\sqrt{a}+c\sqrt{b})^2=(\sqrt{a} \cdot \sqrt{ac}+\sqrt{b} \cdot \sqrt{ab}+\sqrt{c} \cdot \sqrt{bc})^2 \leq (a+b+c)(ab+bc+ca)=3(ab+bc+ca) \leq 9[/imath]
[imath]\Rightarrow a\sqrt{c}+b\sqrt{a}+c\sqrt{b} \leq 3[/imath]
Ta sẽ chứng minh [imath]ab^2+bc^2+ca^2+abc \leq 4[/imath]
Không mất tính tổng quát, giả sử [imath](b-a)(b-c) \leq 0[/imath]
[imath]\Rightarrow b^2 \leq ab+bc-ac[/imath]
[imath]\Rightarrow ab^2 \leq a^2b+abc-a^2c[/imath]
[imath]\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2+abc \leq 2abc+a^2b+bc^2=b(a+c)^2=4b\cdot \left(\dfrac{a+c}{2} \right)^2 \leq 4\left(\dfrac{b+\dfrac{a+c}{2}+\dfrac{a+c}{2}}{3} \right)^3=4[/imath]
Từ đó [imath]VT \geq \dfrac{9}{4-abc+3}=\dfrac{9}{7-abc}[/imath]
Ta cần chứng minh [imath]\dfrac{9}{7-abc} \geq \dfrac{3}{3-\sqrt[3]{abc}}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 9-3\sqrt[3]{abc} \geq 7-abc \Leftrightarrow abc-3\sqrt[3]{abc}+2 \geq 0[/imath]
Đặt [imath]t=\sqrt[3]{abc}[/imath] thì [imath]abc-3\sqrt[3]{abc}+2=t^3-3t+2=(t-1)^2(t+2) \geq 0[/imath]
Vậy ta có đpcm.
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
