Toán 10 Bất Đẳng Thức

[simple102bruh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z là độ dài 3 cạnh với [imath](x+y+z)(x+y-z)(y+z-x)(x+z-y)=1.[/imath]
CMR: [imath]x^2+y^2+z^2 \ge \dfrac{1}{3} \left (\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz} \right)[/imath]

Mọi người giúp em câu này với ạ! Em cần gấp

 

[Lê.T.Hà]

[imath](x+y-z;x+z-y;y+z-x)=(a;b;c) \Rightarrow abc(a+b+c)=1[/imath]
[imath]\Rightarrow 1 \leq \dfrac{1}{3}(ab+bc+ca)^2 \Rightarrow \dfrac{3}{ab+bc+ca} \leq \sqrt{3}[/imath] (1)
[imath]1=(a+b+c)abc \leq \dfrac{1}{27}(a+b+c)(a+b+c)^3 \Rightarrow (a+b+c)^2 \geq 3\sqrt{3}[/imath] (2)
BĐT cần chứng minh trở thành:
[imath]\dfrac{(a+b)^2}{4}+\dfrac{(b+c)^2}{4}+\dfrac{(c+a)^2}{4} \geq \dfrac{1}{3} \left(\dfrac{4}{(a+b)(b+c)}+\dfrac{4}{(a+b)(a+c)}+\dfrac{4}{(a+c)(b+c)} \right)=\dfrac{8}{3}.\dfrac{a+b+c}{(a+b)(b+c)(c+a)}[/imath]
Tới đây C-S vế trái và sử dụng kết quả (2)
Với vế phải sử dụng [imath](a+b)(b+c)(c+a) \geq \dfrac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)[/imath] và sau đó là (1)

Tới đây thì phát hiện ra vấn đề là hình như vế phải dư thừa 1/3, vế trái lớn hơn tuyệt đối, dấu = ko xảy ra, bỏ 1/3 đi thì có dấu bằng