Toán 9 Bất đẳng thức

[_Error404_]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c >0 thỏa abc=1. Chứng minh [imath]\frac{1}{1+a+b^2}+\frac{1}{1+b+c^2}+\frac{1}{1+c+a^2}\leq1[/imath]

 

[Lê.T.Hà]

Đặt [imath](a;b;c)=(x^3;y^3;z^3) \Rightarrow xyz=1[/imath]
[imath](1+x^3+y^6)\left(z^4+x+x^2z^2 \right) \geq (x^2+y^2+z^2)^2\Rightarrow \dfrac{1}{1+x^3+y^6} \leq \dfrac{z^4+x+x^2z^2}{(x^2+y^2+z^2)^2}[/imath]
Tương tự ...
[imath]P \leq \dfrac{x^4+y^4+z^4+x+y+z+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{(x^2+y^2+z^2)^2}[/imath]
Nên ta chỉ cần chứng minh:
[imath]x^4+y^4+z^4+x+y+z+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 \leq (x^2+y^2+z^2)^2[/imath]
[imath]\Rightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 \geq x+y+z[/imath]
Đúng do: [imath]x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 \geq xyz(x+y+z)=x+y+z[/imath]

 

[_Error404_]

Đặt [imath](a;b;c)=(x^3;y^3;z^3) \Rightarrow xyz=1[/imath]
[imath](1+x^3+y^6)\left(z^4+x+x^2z^2 \right) \geq (x^2+y^2+z^2)^2\Rightarrow \dfrac{1}{1+x^3+y^6} \leq \dfrac{z^4+x+x^2z^2}{(x^2+y^2+z^2)^2}[/imath]
Tương tự ...
[imath]P \leq \dfrac{x^4+y^4+z^4+x+y+z+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{(x^2+y^2+z^2)^2}[/imath]
Nên ta chỉ cần chứng minh:
[imath]x^4+y^4+z^4+x+y+z+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 \leq (x^2+y^2+z^2)^2[/imath]
[imath]\Rightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 \geq x+y+z[/imath]
Đúng do: [imath]x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 \geq xyz(x+y+z)=x+y+z[/imath]

Lê.T.HàCho e hỏi là vì sao ta lại có ý tưởng đặt ẩn để tăng bậc ở mẫu của BĐT vậy ạ

 

[Lê.T.Hà]

Cho e hỏi là vì sao ta lại có ý tưởng đặt ẩn để tăng bậc ở mẫu của BĐT vậy ạ

Nguyễn Phúc LươngĐầu tiên là thử với [imath]\dfrac{1}{1+a+b^2} \leq \dfrac{a+b+c^2}{(a+b+c)^2}[/imath]
Nhưng cách này không được vì tử số "mạnh hơn" mẫu số, do đó cần làm mạnh mẫu số thêm 1 chút, bằng cách tăng bậc cho nó, đơn giản vậy thui. Rồi thử tiếp, hên xui nó ra luôn á :v