Toán 9 Bất đẳng thức

[_Error404_]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng [imath]\frac{a(b+c)}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b(c+a)}{b^2+(c+a)^2}+\frac{c(a+b)}{c^2+(a+b)^2}\leq\frac{6}{5}[/imath]
Mọi người jup e với @Mộc Nhãn @kido2006 @Lê.T.Hà

 

[Lê.T.Hà]

Dễ nhất là chuẩn hóa [imath]a+b+c=3[/imath], vế trái trở thành: [imath]\sum \dfrac{a(3-a)}{a^2+(3-a)^2}[/imath]

Sau đó dùng UCT đánh giá: [math]\dfrac{a(3-a)}{a^2+(3-a)^2} \leq \dfrac{9a+1}{25}[/math]
Rồi cộng lại là xong.

Nếu ko thì chịu khó tách ra C-S:
[imath]\sum \dfrac{a(b+c)}{a^2+\dfrac{1}{4}(b+c)^2+\dfrac{3}{4}(b+c)^2} \leq \sum \dfrac{a(b+c)}{a(b+c)+\dfrac{3}{4}(b+c)^2}=\sum\dfrac{4a}{4a+3(b+c)}[/imath]
[imath]=\sum \dfrac{4a}{a+3(a+b+c)} \leq \sum \dfrac{4a}{(1+9)^2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{9^2}{3(a+b+c)} \right)[/imath]

 

[_Error404_]

Dễ nhất là chuẩn hóa [imath]a+b+c=3[/imath], vế trái trở thành: [imath]\sum \dfrac{a(3-a)}{a^2+(3-a)^2}[/imath]

Sau đó dùng UCT đánh giá: [math]\dfrac{a(3-a)}{a^2+(3-a)^2} \leq \dfrac{9a+1}{25}[/math]
Rồi cộng lại là xong.

Nếu ko thì chịu khó tách ra C-S:
[imath]\sum \dfrac{a(b+c)}{a^2+\dfrac{1}{4}(b+c)^2+\dfrac{3}{4}(b+c)^2} \leq \sum \dfrac{a(b+c)}{a(b+c)+\dfrac{3}{4}(b+c)^2}=\sum\dfrac{4a}{4a+3(b+c)}[/imath]
[imath]=\sum \dfrac{4a}{a+3(a+b+c)} \leq \sum \dfrac{4a}{(1+9)^2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{9^2}{3(a+b+c)} \right)[/imath]

Lê.T.HàCho e hỏi cách chuẩn hóa với ạ, nên trình bày ntn trong bài làm của hs thcs ạ

 

[Lê.T.Hà]

Cho e hỏi cách chuẩn hóa với ạ, nên trình bày ntn trong bài làm của hs thcs ạ

Nguyễn Phúc LươngĐặt [imath]t=a+b+c[/imath], luôn tồn tại các số thực dương x;y;z sao cho [imath]x=\dfrac{3a}{a+b+c}...[/imath]
[imath]\Rightarrow a=\dfrac{xt}{3};b=...[/imath]

Khi đó:
[imath]P=\sum\dfrac{\dfrac{xt}{3}\left(\dfrac{yt}{3}+\dfrac{zt}{3}\right)}{\left(\dfrac{xt}{3}\right)^2+\left(\dfrac{yt}{3}+\dfrac{zt}{3} \right)^2}=\sum \dfrac{x(y+z)}{x^2+(y+z)^2}[/imath]

Với [imath]x+y+z=\dfrac{3(a+b+c)}{a+b+c}=3[/imath]