Toán 9 Bất đẳng thức

[_Error404_]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: [imath]P = \left(3 + \dfrac{1}a + \dfrac{1}b \right) \left(3 + \dfrac{1}b + \dfrac{1}c \right) \left(3 + \dfrac{1}c + \dfrac{1}a\right)[/imath]
Trong đó[imath]a,b,c[/imath] là các số dương thoả mãn điều kiện [imath]a + b + c \le \dfrac{3}2[/imath]

2. Cho[imath]x,y,z[/imath] là các số dương thoả mãn: [imath]xy + yz + zx + 2xyz = 1[/imath]. Chứng minh rằng [imath]x + y + z \ge \dfrac{3}2[/imath]

Giúp e với @Mộc Nhãn @kido2006

 

[Lê.T.Hà]

1. Để khỏi phải khai triển dài thì câu này nên Holder:
[imath]\left(3+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \right)\left(3+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right)\left(3+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a} \right) \geq \left(3+\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}} \right)^3[/imath]
[imath]\geq \left(3+\dfrac{3}{a+b+c}+\dfrac{3}{a+b+c} \right)^3\geq (3+2+2)^3[/imath]
2.
[imath]xy+yz+zx+2xyz=1[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 2(xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1)=xy+yz+zx+2x+2y+2z+3[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 2(x+1)(y+1)(z+1)=(x+1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x+1)[/imath]
[math]\Rightarrow 2=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1} \geq \dfrac{9}{x+y+z+3} \Rightarrow x+y+z+3 \geq \dfrac{9}{2} \Rightarrow ...[/math]