Cho x, y, z dương thỏa mãn x+y+z=2, chứng minh
[tex]\dfrac{x}{y^2+1}+\dfrac{y}{z^2+1}+\dfrac{z}{x^2+1}\geq\dfrac{18}{13}[/tex]
Ta đi chứng minh [imath]\dfrac{1}{y^2+1}\geq \dfrac{-45y^2}{169}-\dfrac{48y}{169}+1[/imath]
[imath]\Leftrightarrow \dfrac{y\left ( 3y-2 \right )^2\left ( 5y+12 \right )}{169\left ( y^2+1 \right )}\geq 0 ( \textrm{ đúng})[/imath]
Do đó [imath]\sum \dfrac{x}{y^2+1}\geq \sum \left (\dfrac{-45xy^2}{169}-\dfrac{48xy}{169}+x \right )[/imath]
Yêu cầu bài toán trở thành [imath]\sum \left (\dfrac{-45xy^2}{169}-\dfrac{48xy}{169}+x \right )\geq \dfrac{18}{13}\\ \Leftrightarrow 45\sum xy^2+48\sum xy\leq 104[/imath]
Mặt khác ta có [math]\sum xy^2\leq \dfrac{4(x+y+z)^3}{27}-xyz=\dfrac{32}{27}-xyz\\ \Rightarrow 45\sum xy^2\leq \dfrac{160}{3}-45xyz[/math]Do đó bài toán trở thành [math]\dfrac{160}{3}-45xyz+48 \sum xy \le 104[/math]Đặt [tex]\left\{\begin{matrix} p=x+y+z=2\\ q=xy+yz+zx\\ r=xyz \end{matrix}\right.[/tex]
Khi đó ta cần chứng minh [math]48q-45r \le \dfrac{152}{3}[/math]Mặt khác theo Schur ta có [math]p^3+9r \ge 4pq \\ \Leftrightarrow 8+9r \ge 8q \\ \Leftrightarrow 45r \ge 5(8q-8)[/math]Do đó [math]48q-45r\leq 48q-5(8q-8)=8q+40\leq \dfrac{8p^2}{3}+40=\dfrac{152}{3}[/math]Ta được điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi [imath]x=y=z=\dfrac{2}{3}[/imath]
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
https://diendan.hocmai.vn/threads/t...c-mon-danh-cho-ban-hoan-toan-mien-phi.827998/
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
