Toán 9 Bất đẳng thức

[hoàng việt nam]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Với các số thực dương a,b,c thỏa mãn: [TEX]\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{9}{4abc}=\dfrac{3}{4}[/TEX] Tìm min của biểu thức: [TEX]P=a^2+b^2+c^2[/TEX]
P/s: Đề kiểm tra chọn đội tuyển môn toán 9 vòng 2 của Trường THPT chuyên Hà Nội Amsterdam.
Nhờ mn giúp đỡ.

 

[Lê.T.Hà]

Mình nghĩ ra 1 cách làm ngắn nhưng không được hay lắm, sử dụng p;q;r và phản chứng:
[tex]4(ab+bc+ca)=3abc+9[/tex]
Đặt [tex]a+b+c=p;ab+bc+ca=q;abc=r[/tex]
Giả sử [tex]p < 3[/tex]
Áp dụng Schur: [tex]4q=3r+9 \geq \dfrac{p(4q-p^2)}{3}+9\Rightarrow p^3+4q(3-p)-27 \geq 0[/tex]
Mà [tex]q \leq \dfrac{1}{3}p^2 \Rightarrow p^3+\dfrac{4}{3}p^2(3-p)-27 \geq 0[/tex]
[tex]\Rightarrow p^3-12p^2+81 \leq 0\Rightarrow (p-3)(p^2-9p-27) \leq 0[/tex]
Do [tex]0 < p < 3 \Rightarrow p^2-9p-27=p(p-3)-6p-27 < 0[/tex]
[tex]\Rightarrow p-3 \geq 0 \Rightarrow p \geq 3[/tex] trái ngược giả thiết [tex]p < 3[/tex] (ktm)
[tex]\Rightarrow p \geq 3\Rightarrow P \geq \dfrac{1}{3}p^2 \geq 3[/tex]

Chưa nghĩ ra cách để sử dụng C-S từ giả thiết

 

[kido2006]

Với các số thực dương a,b,c thỏa mãn: [TEX]\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{9}{4abc}=\dfrac{3}{4}[/TEX] Tìm min của biểu thức: [TEX]P=a^2+b^2+c^2[/TEX]
P/s: Đề kiểm tra chọn đội tuyển môn toán 9 vòng 2 của Trường THPT chuyên Hà Nội Amsterdam.
Nhờ mn giúp đỡ.

Mình xin góp thêm 1 cách khác :vv

Theo Diriclet [tex]\Rightarrow (b-1)(c-1)\geq 0\\ \Rightarrow (a-1)^2+(b-c)^2+2a(b-1)(c-1)\geq 0\\ \Leftrightarrow P+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)\\ \Rightarrow P\geq 2(ab+bc+ca)-2abc-1[/tex]

Có :[tex]\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{9}{4abc}=\dfrac{3}{4}\\ \Rightarrow 3abc+9=4(ab+bc+ca)\geq 12\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\\ \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1\geq abc\\ 2(ab+bc+ca)=\dfrac{3abc}{2}+\dfrac{9}{2} \end{matrix}\right.\\ \Rightarrow P\geq -\dfrac{abc}{2}+\dfrac{7}{2}\geq -\dfrac{1}{2}+\dfrac{7}{2}=3[/tex]

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
https://diendan.hocmai.vn/threads/t...c-mon-danh-cho-ban-hoan-toan-mien-phi.827998/