Cho các số dương a,b,c thỏa abc=1. Chứng minh:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{6}{a+b+c} \geq 5$
Kmttqgs [tex]a=max(a,b,c)[/tex]
Ta đi chứng minh bài toán sau
[tex]\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{6}{a+b+c}\geq \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{\sqrt{bc}}+\dfrac{6}{a+2\sqrt{bc}}(1)[/tex]
Thật vậy
[tex](1)\Leftrightarrow (\sqrt{b}-\sqrt{c})^2\left ( \dfrac{1}{bc}-\dfrac{6}{(a+b+c)(a+2\sqrt{bc})} \right ) \geq 0[/tex]
Ta chỉ cần chứng minh
[tex](a+b+c)(a+2\sqrt{bc})-6\sqrt{bc}> 0[/tex]
Thật vậy
[tex](a+b+c)(a+2\sqrt{bc})-6\sqrt{bc}\\=a(a+b+c)+2\sqrt{bc}(a+b+c)-6\sqrt{bc}\\ \geq a(a+b+c)+2\sqrt{bc}(\sqrt{bc}+2\sqrt{bc})-6\sqrt{bc}\\=a(a+b+c)> 0[/tex]
Do đó bài toán trở thành:
Cho các số dương a,b,c thỏa abc=1. Chứng minh:
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{\sqrt{bc}}+\dfrac{6}{a+2\sqrt{bc}} \geq 5$
Thật vậy
[tex]\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{\sqrt{bc}}+\dfrac{6}{a+2\sqrt{bc}} -5\\ =\dfrac{abc}{a}+\dfrac{2}{\sqrt{bc}}+\dfrac{6}{\dfrac{a}{abc}+2\sqrt{bc}} -5\\\\ =bc+\dfrac{2}{\sqrt{bc}}+\dfrac{6}{\dfrac{1}{bc}+2\sqrt{bc}} -5\\ =\dfrac{(\sqrt{bc}-1)^2\left ( \sqrt{bc}(2\sqrt{bc}-1)^2+2(b^2c^2-\sqrt{bc}+1) \right )}{\sqrt{bc}\left ( 2(bc)^{\frac{3}{2}} +1\right )}\\ =\dfrac{(\sqrt{bc}-1)^2\left ( \sqrt{bc}(2\sqrt{bc}-1)^2+2(b^2c^2+\dfrac{3}{4}-\sqrt{bc}+\dfrac{1}{4}) \right )}{\sqrt{bc}\left ( 2(bc)^{\frac{3}{2}} +1\right )}\\ \geq \dfrac{(\sqrt{bc}-1)^2\left ( \sqrt{bc}(2\sqrt{bc}-1)^2+2(\sqrt{bc}\left ( \dfrac{4}{\sqrt[4]{4^3}}-1 \right )+\dfrac{1}{4}) \right )}{\sqrt{bc}\left ( 2(bc)^{\frac{3}{2}} +1\right )}\\ \geq 0[/tex]
$\Rightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{6}{a+b+c}\geq \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{\sqrt{bc}}+\dfrac{6}{a+2\sqrt{bc}} \geq 5$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^
Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
https://diendan.hocmai.vn/threads/t...c-mon-danh-cho-ban-hoan-toan-mien-phi.827998/
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
